PrethodniSledeći
4648.

415

TEKST ZADATKA

Ako je u trouglu ABC ABC ∠CAB=20∘, \angle CAB = 20^\circ , tačka D D središte stranice AB AB i ∠CDB=40∘, \angle CDB = 40^\circ , odrediti meru ugla ABC. ABC .

REŠENJE ZADATKA

Pošto je D D središte stranice AB, AB , tačke A,D,B A,D,B su kolinearne, D D je između A A i B, B , i važi AD=DB. AD=DB .

A,D,B extsukolinearne,AD=DBA,D,B\ ext{su kolinearne},\qquad AD=DB

Poluprave DA DA i DB DB su suprotne, pa su uglovi CDA CDA i CDB CDB suplementni. Zato je ugao kod D D u trouglu ACD ACD jednak 140∘. 140^\circ . Ugao kod A A tog trougla isti je kao zadati ugao CAB. CAB .

∠CDA=180∘−∠CDB=180∘−40∘=140∘,∠CAD=20∘\angle CDA=180^\circ-\angle CDB=180^\circ-40^\circ=140^\circ,\qquad \angle CAD=20^\circ

Iz zbira unutrašnjih uglova trougla ACD ACD dobijamo ugao kod C. C .

∠ACD=180∘−140∘−20∘=20∘\angle ACD=180^\circ-140^\circ-20^\circ=20^\circ

U trouglu ACD ACD uglovi kod A A i C C su jednaki, pa su jednake i njima naspramne stranice. Otuda je CD=AD. CD=AD . Zajedno sa AD=DB AD=DB sledi CD=DB. CD=DB .

∠CAD=∠ACD⟹CD=AD=DB\angle CAD=\angle ACD\quad\Longrightarrow\quad CD=AD=DB

Trougao CDB CDB je zato jednakokrak sa jednakim kracima CD CD i DB. DB . Njegov vršni ugao kod D D je 40∘, 40^\circ , pa su jednaki uglovi uz osnovicu CB. CB .

∠DBC=∠BCD=180∘−40∘2=70∘\angle DBC=\angle BCD=\frac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ

Pošto poluprava BD BD pripada istoj pravoj i istom smeru kao poluprava BA, BA , ugao DBC DBC upravo je ugao ABC. ABC . Geometrijska provera daje i ∠ACB=20∘+70∘=90∘, \angle ACB=20^\circ+70^\circ=90^\circ , pa je zbir uglova 20∘+70∘+90∘=180∘. 20^\circ+70^\circ+90^\circ=180^\circ .

∠ABC=70∘\boxed{\angle ABC=70^\circ}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak