4649. Trougao | Balkan Tutor

Neka je $\angle ACB=90^\circ ,$ neka je $M$ središte hipotenuze $AB ,$ a $CH$ visina na hipotenuzu. Označimo oštre uglove sa $\alpha=\angle CAB$ i $\beta=\angle ABC .$ Njihov zbir je $90^\circ .$

\alpha+\beta=90^\circ,\qquad CM\ ext{je težišna duž},\qquad CH\perp AB

Obrazložimo svojstvo središta hipotenuze koje ćemo koristiti. Preslikajmo $C$ centralno oko $M$ u tačku $C' .$ Dijagonale $AB$ i $CC'$ četvorougla $ACBC'$ polove se u $M ,$ pa je taj četvorougao paralelogram. Kako sadrži pravi ugao kod $C ,$ on je pravougaonik, pa su mu dijagonale jednake. Otuda je $AB=CC' ,$ a njihove polovine daju $AM=BM=CM .$

AM=BM,\quad CM=MC'\quad\Longrightarrow\quad AB=CC'\quad\Longrightarrow\quad AM=BM=CM=\frac{AB}{2}

U trouglu $ACM$ važi $AM=CM ,$ pa su uglovi naspram tih stranica jednaki. Pošto $M$ leži na $AB ,$ ugao $CAM$ jednak je $\alpha$ ; zato je i ugao između $CA$ i težišne duži $CM$ jednak $\alpha .$

AM=CM\quad\Longrightarrow\quad \angle ACM=\angle CAM=\alpha

Pošto je $CH$ normalna na $AB ,$ ugao između $CA$ i visine $CH$ jednak je komplementu ugla između $CA$ i $AB .$ Taj ugao je zato $90^\circ-\alpha=\beta .$ Prema tome, ugao između pravih $CM$ i $CH$ jednak je apsolutnoj razlici oštrih uglova.

\angle( CA,CH)=90^\circ-\alpha=\beta,\qquad \angle MCH=|\alpha-\beta|=14^\circ

Ako je $\alpha\ge\beta ,$ uz jednačinu zbira rešavamo $\alpha-\beta=14^\circ .$ Dobijamo prvu dodelu mera temenima.

\alpha+\beta=90^\circ,\quad \alpha-\beta=14^\circ\quad\Longrightarrow\quad \alpha=52^\circ,\quad \beta=38^\circ

Ako je $\beta>\alpha ,$ rešavamo $\beta-\alpha=14^\circ .$ Mere se samo zamene između temena $A$ i $B .$ Zadatak ne određuje sa koje je strane visine težišna duž, pa su obe dodele moguće, ali je neuređeni par jedinstven.

\beta-\alpha=14^\circ\quad\Longrightarrow\quad \alpha=38^\circ,\quad \beta=52^\circ;\qquad \boxed{\{38^\circ,52^\circ\}}

414