4651. Trougao | Balkan Tutor

Treći unutrašnji ugao trougla je $\gamma=60^\circ .$ Odgovarajući spoljašnji uglovi suplementni su unutrašnjim uglovima.

\gamma=180^\circ-52^\circ-68^\circ=60^\circ;\qquad \alpha_{\mathrm{sp}}=128^\circ,\quad \beta_{\mathrm{sp}}=112^\circ,\quad \gamma_{\mathrm{sp}}=120^\circ

Kod svakog temena postoje dva spoljašnja ugla. Njihove simetrale su dva suprotna zraka na istoj pravoj, koju označimo sa $e_A,e_B,e_C$ ; izbor konkretnog spoljašnjeg ugla određuje koji zrak te prave posmatramo. Prava $e_A$ normalna je na pravu unutrašnje simetrale $AI ,$ i analogno važi kod $B$ i $C ,$ jer polovine susednih unutrašnjeg i spoljašnjeg ugla imaju zbir $90^\circ .$

\frac{\alpha}{2}+\frac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ,\qquad e_A\perp AI,\quad e_B\perp BI,\quad e_C\perp CI

Par kompletnih pravih $e_A,e_B$ obrazuje isti neuređeni par suplementnih uglova kao prave $AI,BI :$ rotacija obe prave za $90^\circ$ čuva taj par, ali bez izbora orijentisanih zraka ne izdvaja automatski jedan njegov član. Po dogovoru, ugao između dve prave je manji član, pa je za $e_A,e_B$ jednak suplementu ugla $90^\circ+\frac{\gamma}{2} ,$ odnosno $90^\circ-\frac{\gamma}{2} .$ Analogno računamo ostala dva para.

\measuredangle(e_A,e_B)=90^\circ-\frac{\gamma}{2}=60^\circ,\qquad \measuredangle(e_B,e_C)=90^\circ-\frac{\alpha}{2}=64^\circ,\qquad \measuredangle(e_C,e_A)=90^\circ-\frac{\beta}{2}=56^\circ

Ako se tri kompletne spoljašnje simetrale posmatraju kao stranice trougla koji one ograničavaju, njegovi unutrašnji uglovi biraju upravo ove manje članove. Njihov zbir je $180^\circ .$ Kod unapred izabranih spoljašnjih zraka ugao može biti ovaj manji ugao ili njegov suplement, zavisno od toga koji od dva suprotna zraka na svakoj pravoj pripada imenovanom spoljašnjem uglu.

60^\circ+64^\circ+56^\circ=180^\circ

Prema konvenciji za kompletne prave, manji uglovi parova $(e_A,e_B),(e_B,e_C),(e_C,e_A)$ jesu $60^\circ,64^\circ,56^\circ ,$ a njihovi suplementi $120^\circ,116^\circ,124^\circ .$ Za ugao između konkretnih spoljašnjih zraka mora se navesti koji su spoljašnji uglovi izabrani; sama normalnost na unutrašnje simetrale to ne određuje.

\boxed{60^\circ,64^\circ,56^\circ}\ \text{(manji uglovi pravih)};\qquad \boxed{120^\circ,116^\circ,124^\circ}\ \text{(suplementi)}

412.b