PrethodniSledeći
4688.

421.a

TEKST ZADATKA

U trouglu ABC ABC ugao koji grade visina i simetrala ugla kod temena A A jednak je polurazlici uglova kod temena B B i C C (∠B>∠C \angle B > \angle C ). Dokazati.

REŠENJE ZADATKA

Neka je AD AD visina na pravu BC, BC , a AE AE simetrala unutrašnjeg ugla kod A. A . Uvedimo oznake za uglove trougla.

α=∠A,β=∠B,γ=∠C,AD⊥BC,∠BAE=α2\alpha=\angle A, \quad \beta=\angle B, \quad \gamma=\angle C, \quad AD\perp BC, \quad \angle BAE=\frac{\alpha}{2}

Najpre neka je β<90∘. \beta<90^\circ . Tada je podnožje D D sa strane temena B B unutar prave strane ugla kod A, A , a iz pravouglog trougla ABD ABD dobijamo ugao između AB AB i visine.

∠BAD=90∘−β\angle BAD=90^\circ-\beta

Iz β>γ \beta>\gamma sledi da simetrala leži dalje od kraka AB AB nego visina, jer je njihova razlika pozitivna. Koristeći α+β+γ=180∘, \alpha+\beta+\gamma=180^\circ , računamo ugao između njih.

∠DAE=α2−(90∘−β)=180∘−β−γ2−90∘+β=β−γ2\angle DAE=\frac{\alpha}{2}-(90^\circ-\beta)=\frac{180^\circ-\beta-\gamma}{2}-90^\circ+\beta=\frac{\beta-\gamma}{2}

Ako je β>90∘, \beta>90^\circ , podnožje visine je na produžetku BC BC preko B. B . U pravouglom trouglu sa temenom B B ugao između pravih AB AB i AD AD tada iznosi β−90∘, \beta-90^\circ , a visina i simetrala su sa suprotnih strana kraka AB. AB .

∠(AD,AE)=(β−90∘)+α2=β−γ2\angle(AD,AE)=(\beta-90^\circ)+\frac{\alpha}{2}=\frac{\beta-\gamma}{2}

Za β=90∘ \beta=90^\circ visina se poklapa sa pravom AB, AB , pa ista jednakost neposredno sledi i predstavlja granični slučaj prethodna dva razmatranja. U svim mogućim položajima dokazano je traženo tvrđenje.

∠(AD,AE)=∠B−∠C2\boxed{\angle(AD,AE)=\frac{\angle B-\angle C}{2}}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak