PrethodniSledeći
4657.

408

TEKST ZADATKA

Visina koja odgovara kraku obrazuje sa osnovicom jednakokrakog trougla ugao δ. \delta . Izraziti preko δ \delta sve spoljašnje i sve unutrašnje uglove trougla.

REŠENJE ZADATKA

Neka je ABC ABC jednakokraki trougao sa osnovicom AB, AB , pa je AC=BC. AC=BC . Neka je AD AD visina koja odgovara kraku BC, BC , gde je D D na pravoj BC. BC . Tada je ugao između visine i osnovice ∠DAB=δ, \angle DAB=\delta , a zbog normalnosti važi ∠ADB=90∘. \angle ADB=90^\circ .

AC=BC,AD⊥BC,∠DAB=δAC=BC,\qquad AD\perp BC,\qquad \angle DAB=\delta

U pravouglom trouglu ABD ABD zbir uglova je 180∘. 180^\circ . Ugao kod temena B B isti je kao osnovni ugao ∠ABC \angle ABC prvobitnog trougla, pa ga dobijamo oduzimanjem poznatih uglova.

∠ABC=180∘−90∘−δ=90∘−δ\angle ABC=180^\circ-90^\circ-\delta=90^\circ-\delta

Naspram jednakih krakova AC AC i BC BC nalaze se jednaki osnovni uglovi. Zato su oba ugla uz osnovicu jednaka.

∠CAB=∠ABC=90∘−δ\angle CAB=\angle ABC=90^\circ-\delta

Iz zbira unutrašnjih uglova trougla računamo vršni ugao kod temena C. C .

∠ACB=180∘−2(90∘−δ)=2δ\angle ACB=180^\circ-2(90^\circ-\delta)=2\delta

Svaki spoljašnji ugao suplementan je susednom unutrašnjem uglu. Spoljašnji uglovi kod A A i B B zato su jednaki, dok spoljašnji ugao kod C C ima drugu meru.

∠Asp=∠Bsp=180∘−(90∘−δ)=90∘+δ,∠Csp=180∘−2δ\angle A_{\mathrm{sp}}=\angle B_{\mathrm{sp}}=180^\circ-(90^\circ-\delta)=90^\circ+\delta,\qquad \angle C_{\mathrm{sp}}=180^\circ-2\delta

Svi unutrašnji uglovi nedegenerisanog trougla moraju biti između 0∘ 0^\circ i 180∘. 180^\circ . Iz 2δ>0∘ 2\delta>0^\circ i 90∘−δ>0∘ 90^\circ-\delta>0^\circ dobijamo dozvoljeni opseg parametra. U tom opsegu i sva tri spoljašnja ugla su pozitivna, a njihov zbir je 360∘. 360^\circ .

0∘<δ<90∘,2(90∘+δ)+(180∘−2δ)=360∘\boxed{0^\circ<\delta<90^\circ},\qquad 2(90^\circ+\delta)+(180^\circ-2\delta)=360^\circ

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak