PrethodniSledeći
4662.

406

TEKST ZADATKA

Bisektrise dvaju unutrašnjih uglova trougla seku se pod uglom koji je jednak trećem unutrašnjem uglu tog trougla. Odrediti meru tog trećeg ugla.

REŠENJE ZADATKA

Označimo treći unutrašnji ugao sa γ, \gamma , a druga dva sa α \alpha i β. \beta . Za ugao između njihovih bisektrisa najpre posmatramo trougao koji grade dva odgovarajuća temena i presek bisektrisa. Ugao kod preseka, između poluprava ka tim temenima, iznosi:

180∘−α2−β2=180∘−180∘−γ2=90∘+γ2180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}=180^\circ-\frac{180^\circ-\gamma}{2}=90^\circ+\frac{\gamma}{2}

Drugi, oštar ugao između istih pravih suplementan je prethodnom uglu.

180∘−(90∘+γ2)=90∘−γ2180^\circ-\left(90^\circ+\frac{\gamma}{2}\right)=90^\circ-\frac{\gamma}{2}

Tupi ugao 90∘+γ2 90^\circ+\frac{\gamma}{2} ne može biti jednak unutrašnjem uglu γ: \gamma : ta jednakost bi dala γ=180∘, \gamma=180^\circ , što nije ugao nedegenerisanog trougla. Zato se uslov odnosi na oštar ugao između bisektrisa. Izjednačavamo ga sa trećim uglom.

90∘−γ2=γ⟹90∘=3γ2⟹γ=60∘90^\circ-\frac{\gamma}{2}=\gamma \Longrightarrow 90^\circ=\frac{3\gamma}{2} \Longrightarrow \gamma=60^\circ

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak