PrethodniSledeći
4663.

405

TEKST ZADATKA

Izračunati mere uglova, koje obrazuju po dve simetrale uglova α, \alpha , β \beta i γ \gamma u trouglu ABC. ABC .

REŠENJE ZADATKA

Neka je I I zajednička presečna tačka simetrala unutrašnjih uglova. Simetrale dele uglove trougla na polovine, a zbir unutrašnjih uglova je 180∘. 180^\circ .

α+β+γ=180∘\alpha+\beta+\gamma=180^\circ

Za simetrale uglova α \alpha i β, \beta , u trouglu AIB AIB uglovi kod A A i B B imaju mere α2 \frac{\alpha}{2} i β2. \frac{\beta}{2} . Ugao između poluprava simetrala usmerenih ka A A i B B zato je:

∠AIB=180∘−α+β2=180∘−180∘−γ2=90∘+γ2\angle AIB=180^\circ-\frac{\alpha+\beta}{2}=180^\circ-\frac{180^\circ-\gamma}{2}=90^\circ+\frac{\gamma}{2}

Drugi ugao koji obrazuju iste dve prave suplementan je uglu ∠AIB. \angle AIB . Dakle, simetrale uglova α \alpha i β \beta obrazuju dva para jednakih uglova sledećih mera:

90∘+γ2i90∘−γ290^\circ+\frac{\gamma}{2}\quad\text{i}\quad 90^\circ-\frac{\gamma}{2}

Na isti način, simetrale uglova β \beta i γ \gamma određuju uglove izražene preko trećeg ugla α: \alpha :

90∘+α2i90∘−α290^\circ+\frac{\alpha}{2}\quad\text{i}\quad 90^\circ-\frac{\alpha}{2}

Simetrale uglova γ \gamma i α \alpha određuju uglove izražene preko trećeg ugla β: \beta :

90∘+β2i90∘−β290^\circ+\frac{\beta}{2}\quad\text{i}\quad 90^\circ-\frac{\beta}{2}

Svaki par pravih daje četiri ugla: dva međusobno jednaka oštra ugla sa znakom minus i dva međusobno jednaka tupa ugla sa znakom plus. Time su obuhvaćeni svi uglovi koje obrazuju po dve unutrašnje simetrale.

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak