PrethodniSledeći
4673.

434

TEKST ZADATKA

U pravouglom trouglu ugao između visine i težišne duži koja odgovara hipotenuzi je 10∘. 10^\circ . Kolike su mere oštrih uglova ovog trougla?

REŠENJE ZADATKA

Neka je ∠ACB=90∘, \angle ACB=90^\circ , neka je H H podnožje visine iz C C na hipotenuzu AB, AB , a M M središte hipotenuze. Označimo oštre uglove trougla.

∠CAB=α,∠ABC=β,α+β=90∘\angle CAB=\alpha,\qquad \angle ABC=\beta,\qquad \alpha+\beta=90^\circ

Da bismo opravdali potrebnu osobinu središta hipotenuze, na polupravoj CM, CM , iza M, M , uzmimo pomoćnu tačku D D tako da je MD=MC. MD=MC . Tačka M M tada polovi dijagonale AB AB i CD CD četvorougla ACBD, ACBD , pa je on paralelogram. Kako je ugao ACB ACB prav, taj paralelogram je pravougaonik i dijagonale su mu jednake. Njihove polovine su zato jednake. Trougao ACM ACM je jednakokraki, pa su mu uglovi naspram AM AM i CM CM jednaki.

AM=MB,CM=MD,AB=CD⟹AM=CM⟹∠ACM=∠CAM=αAM=MB,\quad CM=MD,\quad AB=CD\quad\Longrightarrow\quad AM=CM\quad\Longrightarrow\quad \angle ACM=\angle CAM=\alpha

Trougao ACH ACH je pravougli kod H, H , pa ugao između CA CA i visine CH CH iznosi 90∘−α=β. 90^\circ-\alpha=\beta . Prema tome, manji ugao između visine i težišne duži jednak je apsolutnoj razlici oštrih uglova. Data mera je 10∘. 10^\circ .

∠ACH=β,∣α−β∣=10∘\angle ACH=\beta,\qquad |\alpha-\beta|=10^\circ

Zajedno sa zbirom α+β=90∘, \alpha+\beta=90^\circ , razlika od 10∘ 10^\circ daje dve mogućnosti koje se razlikuju samo zamenom oznaka temena A A i B. B .

α+β=90∘,∣α−β∣=10∘⟹{α,β}={40∘,50∘}\alpha+\beta=90^\circ,\quad |\alpha-\beta|=10^\circ\quad\Longrightarrow\quad \{\alpha,\beta\}=\{40^\circ,50^\circ\}

Oštri uglovi pravouglog trougla zato imaju sledeće mere.

40∘ i 50∘\boxed{40^\circ\ \text{i}\ 50^\circ}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak