4674. Trougao | Balkan Tutor

Pošto je $AC=BC ,$ uglovi na osnovici su jednaki. Označimo njihovu meru sa $\alpha .$ Tačka $M$ je na stranici $AB ,$ pa se poluprave $AM$ i $AB$ poklapaju.

\angle CAB=\angle ABC=\alpha,\qquad \angle ACB=180^\circ-2\alpha

Iz $AC=AM$ sledi da je trougao $ACM$ jednakokraki sa vrhom kod $A .$ Njegovi uglovi kod $C$ i $M$ su jednaki, a njihov zbir je $180^\circ-\alpha .$

\angle ACM=\angle CMA=\frac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ-\frac{\alpha}{2}

Tačke $A,M,B$ su kolinearne i $M$ je između $A$ i $B ,$ pa su uglovi $CMA$ i $CMB$ suplementni.

\angle CMB=180^\circ-\angle CMA=90^\circ+\frac{\alpha}{2}

Iz $CM=MB$ sledi da je i trougao $CMB$ jednakokraki, sada sa vrhom kod $M .$ Ugao kod $B$ jednak je osnovnom uglu $\alpha$ prvobitnog trougla, pa je isti toliki i ugao kod $C .$ Zato je ugao kod $M$ jednak ostatku do $180^\circ .$

\angle MCB=\angle CBM=\alpha,\qquad \angle CMB=180^\circ-2\alpha

Dva izraza za isti ugao $CMB$ moraju biti jednaka. Dobijena vrednost je u skladu sa položajem $M$ na stranici: u trouglu $CMB$ stranica $CB=AC=AM$ leži naspram ugla od $108^\circ$ i veća je od jednakih stranica $CM=MB ,$ koje leže naspram uglova od $36^\circ .$

90^\circ+\frac{\alpha}{2}=180^\circ-2\alpha\quad\Longrightarrow\quad \frac{5\alpha}{2}=90^\circ\quad\Longrightarrow\quad \alpha=36^\circ

Ugao pri vrhu računamo iz zbira uglova trougla.

\angle ACB=180^\circ-2\cdot36^\circ=108^\circ,\qquad \boxed{(\angle A,\angle B,\angle C)=(36^\circ,36^\circ,108^\circ)}

433