PrethodniSledeći
4676.

431

TEKST ZADATKA

U trouglu ABC ABC duž BD BD je visina, a BM BM (M∈AC M \in AC ) je simetrala ugla. U trouglu BMC BMC duž MK MK je visina. Ako je ∠MBD=20∘, \angle MBD = 20^\circ , a ∠BMK=50∘, \angle BMK = 50^\circ , odrediti mere uglova trougla ABC. ABC .

REŠENJE ZADATKA

Pošto je MK MK visina trougla BMC, BMC , važi MK⊥BC. MK\perp BC . Trougao BMK BMK je zato pravougli kod K. K . Iz datog ugla kod M M i zbira uglova trougla dobijamo ugao kod B. B .

∠BKM=90∘,∠MBK=180∘−90∘−50∘=40∘\angle BKM=90^\circ,\qquad \angle MBK=180^\circ-90^\circ-50^\circ=40^\circ

Tačka K K mora ležati na polupravoj BC: BC : kada bi bila na suprotnoj polupravoj, bilo bi ∠MBC=180∘−40∘=140∘, \angle MBC=180^\circ-40^\circ=140^\circ , pa bi ceo ugao kod B, B , koji BM BM polovi, bio veći od 180∘. 180^\circ . Zato je ∠MBC=40∘. \angle MBC=40^\circ . Kako je BM BM simetrala ugla ABC, ABC , isti ugao je i sa druge njene strane.

∠ABM=∠MBC=40∘,∠ABC=80∘\angle ABM=\angle MBC=40^\circ,\qquad \angle ABC=80^\circ

Visina BD BD je normalna na AC, AC , pa je trougao ABD ABD pravougli kod D. D . Međutim, podatak ∠MBD=20∘ \angle MBD=20^\circ ne kaže sa koje strane poluprave BM BM leži BD. BD . Pošto je ∠ABM=40∘, \angle ABM=40^\circ , postoje dve mogućnosti za ugao ABD. ABD .

∠ABD=40∘−20∘=20∘ili∠ABD=40∘+20∘=60∘\angle ABD=40^\circ-20^\circ=20^\circ\quad\text{ili}\quad \angle ABD=40^\circ+20^\circ=60^\circ

U prvoj konfiguraciji poluprava BD BD leži između BA BA i BM. BM . Tada je ∠ABD=20∘, \angle ABD=20^\circ , pa iz pravouglog trougla ABD ABD dobijamo ugao kod A A ; potom zbir uglova trougla ABC ABC daje ugao kod C. C .

∠BAC=90∘−20∘=70∘,∠BCA=180∘−80∘−70∘=30∘\angle BAC=90^\circ-20^\circ=70^\circ,\qquad \angle BCA=180^\circ-80^\circ-70^\circ=30^\circ

U ovoj konfiguraciji podnožje D D prethodi tački M M na stranici AC, AC , dakle redosled je A−D−M−C. A-D-M-C . U trouglu BMC BMC uglovi su 40∘,110∘,30∘ 40^\circ,110^\circ,30^\circ ; oba ugla uz stranicu BC BC su oštra, pa podnožje K K zaista leži između B B i C. C . Konfiguracija je zato ostvariva.

A−D−M−C,B−K−C,(∠BMC,∠MBC,∠BCM)=(110∘,40∘,30∘)A-D-M-C,\qquad B-K-C,\qquad (\angle BMC,\angle MBC,\angle BCM)=(110^\circ,40^\circ,30^\circ)

U drugoj konfiguraciji poluprava BM BM leži između BA BA i BD. BD . Tada je ∠ABD=60∘. \angle ABD=60^\circ . Ponovo koristimo pravougli trougao ABD ABD i zbir uglova trougla ABC. ABC .

∠BAC=90∘−60∘=30∘,∠BCA=180∘−80∘−30∘=70∘\angle BAC=90^\circ-60^\circ=30^\circ,\qquad \angle BCA=180^\circ-80^\circ-30^\circ=70^\circ

Sada tačka M M prethodi podnožju D, D , pa je redosled A−M−D−C. A-M-D-C . Trougao BMC BMC ima uglove 40∘,70∘,70∘, 40^\circ,70^\circ,70^\circ , pa i u ovoj konfiguraciji podnožje K K leži između B B i C. C . Dakle, i druga konfiguracija zadovoljava sve date uslove.

A−M−D−C,B−K−C,(∠BMC,∠MBC,∠BCM)=(70∘,40∘,70∘)A-M-D-C,\qquad B-K-C,\qquad (\angle BMC,\angle MBC,\angle BCM)=(70^\circ,40^\circ,70^\circ)

Prema tome, iz teksta zadatka bez dodatnog podatka o položaju tačaka D D i M M slede dva rešenja. U oba je ugao kod B B jednak 80∘, 80^\circ , dok uglovi kod A A i C C mogu zameniti mesta.

(∠A,∠B,∠C)=(70∘,80∘,30∘) ili (30∘,80∘,70∘)\boxed{(\angle A,\angle B,\angle C)=(70^\circ,80^\circ,30^\circ)\ \text{ili}\ (30^\circ,80^\circ,70^\circ)}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak