PrethodniSledeći
4682.

426

TEKST ZADATKA

Trougao ABC ABC ima unutrašnje uglove β=15∘ \beta = 15^\circ i γ=30∘. \gamma = 30^\circ . Prava, koja sadrži tačku A A i normalna je na AB, AB , seče duž BC BC u tački D. D . Dokazati da je 2AC=BD. 2AC = BD .

REŠENJE ZADATKA

Najpre računamo treći ugao trougla. Kako je AD⊥AB AD\perp AB i D D pripada BC, BC , poznati su i uglovi trougla ABD. ABD .

∠BAC=180∘−15∘−30∘=135∘,∠BAD=90∘,∠ABD=15∘,∠ADB=75∘\angle BAC=180^\circ-15^\circ-30^\circ=135^\circ, \quad \angle BAD=90^\circ, \quad \angle ABD=15^\circ, \quad \angle ADB=75^\circ

Prava AD AD deli ugao BAC, BAC , pa je ugao između AD AD i AC AC razlika uglova BAC BAC i BAD. BAD .

∠DAC=135∘−90∘=45∘\angle DAC=135^\circ-90^\circ=45^\circ

Unutar ugla BAD BAD konstruišimo polupravu koja sa AB AB gradi ugao od 15∘ 15^\circ i neka ona seče BD BD u E. E . U trouglu ABE ABE uglovi kod A A i B B su jednaki, pa su jednake i njima naspramne stranice.

∠BAE=15∘=∠ABE⟹AE=BE\angle BAE=15^\circ=\angle ABE \quad\Longrightarrow\quad AE=BE

Pošto je ∠BAD=90∘, \angle BAD=90^\circ , preostali ugao između AE AE i AD AD iznosi 75∘. 75^\circ . U trouglu AED AED ugao kod D D jednak je uglu ADB, ADB , takođe 75∘. 75^\circ . Naspram jednakih uglova leže jednake stranice.

∠EAD=90∘−15∘=75∘=∠ADE⟹AE=DE\angle EAD=90^\circ-15^\circ=75^\circ=\angle ADE \quad\Longrightarrow\quad AE=DE

Iz AE=BE AE=BE i AE=DE AE=DE sledi BE=DE. BE=DE . Kako je E E na duži BD, BD , ona je njena sredina, pa je duž BD BD dvostruko duža od AE. AE .

BD=BE+ED=AE+AE=2AEBD=BE+ED=AE+AE=2AE

Zraci AC AC i AE AE nalaze se sa suprotnih strana prave AD, AD , pa je ugao CAE CAE zbir uglova CAD CAD i DAE. DAE . U trouglu ACE ACE ugao kod C C jednak je zadatom uglu ACB, ACB , jer je E E na BC. BC .

∠CAE=45∘+75∘=120∘,∠ACE=30∘\angle CAE=45^\circ+75^\circ=120^\circ, \qquad \angle ACE=30^\circ

Treći ugao trougla ACE ACE zato je takođe 30∘. 30^\circ . Naspram jednakih uglova kod C C i E E leže jednake stranice AE AE i AC. AC . Uvrštavanjem u ranije dobijenu jednakost završavamo dokaz.

∠AEC=180∘−120∘−30∘=30∘⟹AE=AC⟹BD=2AC\angle AEC=180^\circ-120^\circ-30^\circ=30^\circ \quad\Longrightarrow\quad AE=AC \quad\Longrightarrow\quad \boxed{BD=2AC}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak