PrethodniSledeći
4683.

425

TEKST ZADATKA

Neka su P P i Q Q redom tačke na katetama AB AB i AC AC pravouglog △ABC. \triangle ABC . Dokazati da je PQ<BC. PQ < BC .

REŠENJE ZADATKA

Podrazumevamo da su P P i Q Q unutrašnje tačke kateta. Pošto su katete AB AB i AC AC normalne, trougao APQ APQ je pravougli kod A. A .

∠PAQ=90∘\angle PAQ=90^\circ

U trouglu PQC PQC ugao PQC PQC je spoljašnji ugao trougla APQ, APQ , jer su QA QA i QC QC suprotni zraci. Zato je taj ugao tup.

∠PQC=∠PAQ+∠APQ=90∘+∠APQ>90∘\angle PQC=\angle PAQ+\angle APQ=90^\circ+\angle APQ>90^\circ

Tup ugao je najveći ugao trougla PQC PQC ; naspram njega je stranica PC. PC . Zato je ona duža od stranice PQ. PQ .

PQ<PCPQ<PC

U trouglu BPC BPC ugao BPC BPC je spoljašnji ugao pravouglog trougla APC, APC , jer su PA PA i PB PB suprotni zraci. I ovaj ugao je tup.

∠BPC=∠PAC+∠ACP=90∘+∠ACP>90∘\angle BPC=\angle PAC+\angle ACP=90^\circ+\angle ACP>90^\circ

Naspram tupog, dakle najvećeg ugla trougla BPC, BPC , leži BC. BC . Stoga je PC<BC PC<BC ; zajedno sa prethodnom nejednakošću dobijamo tvrđenje.

PQ<PC<BC\boxed{PQ<PC<BC}

Uslov da su tačke unutrašnje je neophodan za tvrđenje zapisano strogom nejednakošću. Ako izraz „tačke na katetama“ dopušta oba krajnja temena i uzmemo P=B P=B i Q=C, Q=C , tada je PQ=BC, PQ=BC , pa navedeno tvrđenje nije tačno. Dakle, tekst zadatka prećutno isključuje taj granični izbor.

P=B, Q=C⟹PQ=BCP=B, \ Q=C \quad\Longrightarrow\quad PQ=BC

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak