PrethodniSledeći
4684.

424

TEKST ZADATKA

Neka je AM AM simetrala ugla u trouglu ABC ABC (M∈BC M \in BC ). Dokazati da je BM<AB BM < AB i MC<AC. MC < AC .

REŠENJE ZADATKA

Označimo uglove trougla kod A,B,C A,B,C redom sa α,β,γ. \alpha,\beta,\gamma . Pošto je AM AM simetrala, oba ugla na koje deli ugao kod A A imaju meru α2. \frac{\alpha}{2} .

∠BAM=∠MAC=α2\angle BAM=\angle MAC=\frac{\alpha}{2}

Ugao AMB AMB je spoljašnji ugao trougla AMC, AMC , jer su MB MB i MC MC suprotni zraci. Zato je jednak zbiru nesusednih unutrašnjih uglova i strogo je veći od α2. \frac{\alpha}{2} .

∠AMB=∠MAC+∠ACM=α2+γ>α2=∠BAM\angle AMB=\angle MAC+\angle ACM=\frac{\alpha}{2}+\gamma>\frac{\alpha}{2}=\angle BAM

U trouglu ABM ABM naspram većeg ugla AMB AMB leži stranica AB, AB , a naspram manjeg ugla BAM BAM stranica BM. BM . Otuda je prva tražena nejednakost dokazana.

BM<ABBM<AB

Analogno, ugao AMC AMC je spoljašnji ugao trougla ABM ABM i veći je od ugla MAC. MAC .

∠AMC=∠BAM+∠ABM=α2+β>α2=∠MAC\angle AMC=\angle BAM+\angle ABM=\frac{\alpha}{2}+\beta>\frac{\alpha}{2}=\angle MAC

U trouglu AMC AMC naspram većeg ugla AMC AMC leži AC, AC , a naspram manjeg ugla MAC MAC leži MC. MC . Time su dokazane obe nejednakosti.

BM<ABiMC<AC\boxed{BM<AB \quad\text{i}\quad MC<AC}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak