PrethodniSledeći
4685.

423

TEKST ZADATKA

Neka je M M proizvoljna tačka u △ABC. \triangle ABC . Dokazati da je ∠ACB<∠AMB. \angle ACB < \angle AMB .

REŠENJE ZADATKA

Pošto je M M unutrašnja tačka trougla, poluprava AM AM seče stranicu BC BC u unutrašnjoj tački D, D , pri čemu su tačke poređane A,M,D. A,M,D .

D=AM∩BC,M∈AD,D∈BCD=AM\cap BC, \qquad M\in AD, \qquad D\in BC

U trouglu ACD ACD ugao ADB ADB je spoljašnji ugao kod temena D, D , jer su DB DB i DC DC suprotni zraci. On je jednak zbiru dva njemu nesusedna unutrašnja ugla.

∠ADB=∠ACD+∠CAD=∠ACB+∠CAM>∠ACB\angle ADB=\angle ACD+\angle CAD=\angle ACB+\angle CAM>\angle ACB

U trouglu BMD BMD ugao AMB AMB je spoljašnji ugao kod M, M , jer su MA MA i MD MD suprotni zraci. Zato je veći od svakog njemu nesusednog unutrašnjeg ugla, posebno od ugla kod D. D .

∠AMB=∠MBD+∠BDM>∠BDM=∠ADB\angle AMB=\angle MBD+\angle BDM>\angle BDM=\angle ADB

Spajanjem dobijenih strogih nejednakosti sledi tvrđenje. Strogost važi zato što je M M unutrašnja tačka, pa su korišćeni uglovi pozitivni.

∠ACB<∠ADB<∠AMB\boxed{\angle ACB<\angle ADB<\angle AMB}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak