PrethodniSledeći
4686.

422

TEKST ZADATKA

Simetrala ugla, koga obrazuju dve nejednake stranice trougla, deli naspramnu stranicu na dve duži, tako da je duža od njih bliža dužoj stranici. Dokazati.

REŠENJE ZADATKA

Neka simetrala AD AD ugla BAC BAC seče BC BC u D. D . Bez umanjenja opštosti pretpostavimo da je AB>AC AB>AC ; treba dokazati da je tada deo BD, BD , koji je uz dužu stranicu AB, AB , duži od DC. DC .

AB>AC,∠BAD=∠DACAB>AC, \qquad \angle BAD=\angle DAC

Na dužoj stranici AB AB izaberimo tačku E E tako da je AE=AC. AE=AC . Ona je u unutrašnjosti AB, AB , jer je AB>AC. AB>AC . Trouglovi AED AED i ACD ACD imaju po dve jednake stranice i jednake uglove zahvaćene tim stranicama.

AE=AC,AD=AD,∠EAD=∠DACAE=AC, \quad AD=AD, \quad \angle EAD=\angle DAC

Zato su trouglovi AED AED i ACD ACD podudarni po dve stranice i zahvaćenom uglu. Otuda su odgovarajuće duži i uglovi jednaki.

ED=DC,∠AED=∠ACD=∠ACBED=DC, \qquad \angle AED=\angle ACD=\angle ACB

Pošto su EA EA i EB EB suprotni zraci, ugao BED BED suplementan je uglu AED. AED . Sa druge strane, zbog E∈AB E\in AB i D∈BC, D\in BC , ugao EBD EBD jednak je uglu kod B B prvobitnog trougla. Zbir uglova trougla ABC ABC pokazuje da je prvi od ova dva ugla veći.

∠BED=180∘−∠ACB=∠BAC+∠ABC>∠ABC=∠EBD\angle BED=180^\circ-\angle ACB=\angle BAC+\angle ABC>\angle ABC=\angle EBD

U trouglu BED BED naspram većeg ugla leži duža stranica. Naspram ugla BED BED leži BD, BD , a naspram ugla EBD EBD leži ED ED ; zato je BD>ED. BD>ED . Kako je ED=DC, ED=DC , sledi traženo. Ako je AC>AB, AC>AB , isti dokaz sa zamenjenim ulogama temena B B i C C daje DC>BD. DC>BD .

BD>ED=DC⟹BD>DCBD>ED=DC \quad\Longrightarrow\quad \boxed{BD>DC}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak