PrethodniSledeći
4613.

387

TEKST ZADATKA

Srednja linija trougla paralelna je sa trećom stranicom i jednaka njenoj polovini. Dokazati.

REŠENJE ZADATKA

Neka su M M i N N redom središta stranica AB AB i AC AC trougla ABC. ABC . Tada je MN MN srednja linija koju posmatramo. Iz definicije središta i množenja vektora skalarom sledi:

AM→=12AB→,AN→=12AC→.\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AB},\qquad \overrightarrow{AN}=\frac12\overrightarrow{AC}.

Vektor MN→ \overrightarrow{MN} dobijamo nadovezivanjem duž puta M−A−N. M-A-N . Promena smera daje MA→=−AM→, \overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{AM} , pa distributivnošću računamo:

MN→=MA→+AN→=−12AB→+12AC→=12(−AB→+AC→).\begin{aligned}\overrightarrow{MN}&=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}\\&=-\frac12\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AC}\\&=\frac12(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}).\end{aligned}

Nadovezivanje duž puta B−A−C B-A-C pokazuje da je izraz u zagradi upravo vektor treće stranice:

BC→=BA→+AC→=−AB→+AC→.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.

Zamenom dobijamo pozitivni skalarni umnožak vektora treće stranice. Zato su vektori istog pravca i smera, a intenzitet prvog jednak je polovini intenziteta drugog:

MN→=12BC→,∣MN→∣=12∣BC→∣.\overrightarrow{MN}=\frac12\overrightarrow{BC},\qquad |\overrightarrow{MN}|=\frac12|\overrightarrow{BC}|.

Prema tome, srednja linija MN MN paralelna je trećoj stranici BC BC i njena dužina jednaka je polovini dužine te stranice.

MN∥BC,MN=12BC\boxed{MN\parallel BC,\qquad MN=\frac12BC}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu