PrethodniSledeći
4625.

386

TEKST ZADATKA

Neka su O,A,B,C O, A, B, C četiri proizvoljne tačke ravni takve da je OC→=12(OA→+OB→). \overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) . Dokazati da je C C središte duži AB. AB .

REŠENJE ZADATKA

Nadovezivanjem duž puta A−O−C, A-O-C , uz AO→=−OA→, \overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{OA} , izražavamo vektor AC→: \overrightarrow{AC} :

AC→=AO→+OC→=−OA→+12(OA→+OB→)=12(−OA→+OB→).\begin{aligned}\overrightarrow{AC}&=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}\\&=-\overrightarrow{OA}+\frac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\\&=\frac12(-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}).\end{aligned}

Nadovezivanje duž puta A−O−B A-O-B daje AB→=−OA→+OB→. \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} . Zato prethodna jednakost postaje:

AC→=12AB→.\overrightarrow{AC}=\frac12\overrightarrow{AB}.

Slično, nadovezivanjem duž puta C−O−B C-O-B i distributivnošću računamo vektor CB→: \overrightarrow{CB} :

CB→=CO→+OB→=−OC→+OB→=−12(OA→+OB→)+OB→=12(−OA→+OB→)=12AB→.\begin{aligned}\overrightarrow{CB}&=\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OB}\\&=-\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}\\&=-\frac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})+\overrightarrow{OB}\\&=\frac12(-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})=\frac12\overrightarrow{AB}.\end{aligned}

Dakle, AC→=CB→. \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB} . Oba vektora imaju isti pravac, isti smer i jednak intenzitet; pri nadovezivanju čine AB→=AC→+CB→=2AC→. \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{AC} . Zato je C C na duži AB AB i važi AC=CB, AC=CB , pa je C C njeno središte.

C je sredisˇte duzˇi AB\boxed{C\text{ je središte duži }AB}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu