PrethodniSledeći
4626.

388

TEKST ZADATKA

Tačke C C i D D dele duž AB AB na tri jednaka odsečka. Tačka O O je proizvoljna izvan prave AB. AB . Ako je OA→=a⃗ \overrightarrow{OA} = \vec{a} i OB→=b⃗, \overrightarrow{OB} = \vec{b} , izraziti vektore OC→ \overrightarrow{OC} i OD→ \overrightarrow{OD} pomoću a⃗ \vec{a} i b⃗. \vec{b} .

Napomena: ako bi tačke bile označene obrnutim poretkom A−D−C−B, A-D-C-B , dobijene formule za OC→ \overrightarrow{OC} i OD→ \overrightarrow{OD} bile bi zamenjene.

REŠENJE ZADATKA

Koristimo uobičajeni poredak imena A−C−D−B: A-C-D-B : redosled imena C, C , pa D, D , znači da je C C tačka trisekcije bliža tački A, A , a D D tačka trisekcije bliža tački B. B . Nadovezivanjem duž puta A−O−B A-O-B i korišćenjem suprotnog vektora dobijamo:

AB→=AO→+OB→=−a⃗+b⃗=b⃗−a⃗.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=-\vec a+\vec b=\vec b-\vec a.

Pošto tri odsečka imaju jednake dužine i isti smer duž AB, AB , tačke C C i D D nalaze se na jednoj, odnosno dve trećine vektora AB→ \overrightarrow{AB} od tačke A: A :

AC→=13AB→,AD→=23AB→.\overrightarrow{AC}=\frac13\overrightarrow{AB},\qquad \overrightarrow{AD}=\frac23\overrightarrow{AB}.

Nadovezivanjem duž puta O−A−C, O-A-C , pa distributivnošću, računamo prvi traženi vektor:

OC→=OA→+AC→=a⃗+13(b⃗−a⃗)=(1−13)a⃗+13b⃗=23a⃗+13b⃗.\begin{aligned}\overrightarrow{OC}&=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}\\&=\vec a+\frac13(\vec b-\vec a)\\&=\left(1-\frac13\right)\vec a+\frac13\vec b=\frac23\vec a+\frac13\vec b.\end{aligned}

Na isti način, nadovezivanjem duž puta O−A−D O-A-D dobijamo:

OD→=OA→+AD→=a⃗+23(b⃗−a⃗)=(1−23)a⃗+23b⃗=13a⃗+23b⃗.\begin{aligned}\overrightarrow{OD}&=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}\\&=\vec a+\frac23(\vec b-\vec a)\\&=\left(1-\frac23\right)\vec a+\frac23\vec b=\frac13\vec a+\frac23\vec b.\end{aligned}

Zato su traženi vektori:

OC→=23a⃗+13b⃗,OD→=13a⃗+23b⃗\boxed{\overrightarrow{OC}=\frac23\vec a+\frac13\vec b,\qquad \overrightarrow{OD}=\frac13\vec a+\frac23\vec b}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu