PrethodniSledeći
4622.

383

TEKST ZADATKA

Dat je pravilni šestougao ABCDEF. ABCDEF . Vektore koji se poklapaju sa stranicama šestougla izraziti pomoću vektora AB→=a⃗ \overrightarrow{AB} = \vec{a} i BD→=b⃗. \overrightarrow{BD} = \vec{b} .

REŠENJE ZADATKA

Označimo AF→=q⃗. \overrightarrow{AF}=\vec q . Iz geometrije pravilnog šestougla, vektor CD→ \overrightarrow{CD} jednak je vektoru AF→, \overrightarrow{AF} , dok se vektor BC→ \overrightarrow{BC} dobija kao zbir vektora pravaca dve stranice koje polaze iz A. A .

CD→=q⃗,BC→=a⃗+q⃗\overrightarrow{CD}=\vec q,\qquad \overrightarrow{BC}=\vec a+\vec q

Dijagonalni vektor BD→=b⃗ \overrightarrow{BD}=\vec b razložimo preko temena C. C . Zatim uvrstimo izraze za dve nadovezane stranice i distributivno izdvojimo q⃗. \vec q .

b⃗=BD→=BC→+CD→=(a⃗+q⃗)+q⃗=a⃗+2q⃗\vec b=\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=(\vec a+\vec q)+\vec q=\vec a+2\vec q

Iz poslednje jednakosti izrazimo vektor q⃗, \vec q , pa pomoću njega zapišemo vektore BC→ \overrightarrow{BC} i CD→. \overrightarrow{CD} .

q⃗=12(b⃗−a⃗),BC→=a⃗+q⃗=12(a⃗+b⃗),CD→=12(b⃗−a⃗)\vec q=\frac12(\vec b-\vec a),\qquad \overrightarrow{BC}=\vec a+\vec q=\frac12(\vec a+\vec b),\qquad \overrightarrow{CD}=\frac12(\vec b-\vec a)

Naspramne stranice pravilnog šestougla su paralelne i jednake. Kada ih usmerimo redom oko šestougla, njihovi vektori su suprotni, pa preostale tri stranice dobijamo promenom smera prvih triju.

DE→=−a⃗,EF→=−12(a⃗+b⃗),FA→=12(a⃗−b⃗)\overrightarrow{DE}=-\vec a,\qquad \overrightarrow{EF}=-\frac12(\vec a+\vec b),\qquad \overrightarrow{FA}=\frac12(\vec a-\vec b)

Vektori šest stranica, usmereni redom od A A ka B, B , zatim do C,D,E,F C,D,E,F i nazad do A, A , zato su:

AB→=a⃗,BC→=12(a⃗+b⃗),CD→=12(b⃗−a⃗),DE→=−a⃗,EF→=−12(a⃗+b⃗),FA→=12(a⃗−b⃗)\overrightarrow{AB}=\vec a,\quad \overrightarrow{BC}=\frac12(\vec a+\vec b),\quad \overrightarrow{CD}=\frac12(\vec b-\vec a),\quad \overrightarrow{DE}=-\vec a,\quad \overrightarrow{EF}=-\frac12(\vec a+\vec b),\quad \overrightarrow{FA}=\frac12(\vec a-\vec b)

Ako se pod vektorima koji se poklapaju sa stranicama podrazumevaju i oba moguća usmerenja svake stranice, vektori suprotnog usmerenja dobijaju se promenom znaka odgovarajućih šest izraza.

BA→=−AB→,CB→=−BC→,DC→=−CD→,ED→=−DE→,FE→=−EF→,AF→=−FA→\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB},\quad \overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC},\quad \overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD},\quad \overrightarrow{ED}=-\overrightarrow{DE},\quad \overrightarrow{FE}=-\overrightarrow{EF},\quad \overrightarrow{AF}=-\overrightarrow{FA}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu