PrethodniSledeći
4623.

384

TEKST ZADATKA

Ako je ABCDEF ABCDEF pravilni šestougao i FA→=a⃗, \overrightarrow{FA} = \vec{a} , FE→=b⃗, \overrightarrow{FE} = \vec{b} , izraziti preko a⃗ \vec{a} i b⃗ \vec{b} vektore DC→, \overrightarrow{DC} , CB→, \overrightarrow{CB} , FC→, \overrightarrow{FC} , AE→ \overrightarrow{AE} i AD→. \overrightarrow{AD} .

REŠENJE ZADATKA

Uzimamo doslednu bazu a⃗=FA→ \vec a=\overrightarrow{FA} i b⃗=FE→. \vec b=\overrightarrow{FE} . Obilaskom pravilnog šestougla redom A,B,C,D,E,F, A,B,C,D,E,F , paralelne naspramne stranice imaju jednake dužine i suprotne smerove. Smerovi stranica u izabranoj bazi zato su:

FA→=a⃗,AB→=a⃗+b⃗,BC→=b⃗,CD→=−a⃗,DE→=−(a⃗+b⃗),EF→=−b⃗.\overrightarrow{FA}=\vec a,\quad \overrightarrow{AB}=\vec a+\vec b,\quad \overrightarrow{BC}=\vec b,\quad \overrightarrow{CD}=-\vec a,\quad \overrightarrow{DE}=-(\vec a+\vec b),\quad \overrightarrow{EF}=-\vec b.

Promena smera daje suprotan vektor. Zbog toga iz CD→=−a⃗ \overrightarrow{CD}=-\vec a i BC→=b⃗ \overrightarrow{BC}=\vec b odmah dobijamo prva dva tražena vektora:

DC→=−CD→=a⃗,CB→=−BC→=−b⃗.\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}=\vec a,\qquad \overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}=-\vec b.

Vektor od F F do C C rastavljamo nadovezivanjem duž puta F−A−B−C. F-A-B-C . Zatim koristimo asocijativnost i sabiramo koeficijente uz iste vektore:

FC→=FA→+AB→+BC→=a⃗+(a⃗+b⃗)+b⃗=(a⃗+a⃗)+(b⃗+b⃗)=2a⃗+2b⃗.\begin{aligned}\overrightarrow{FC}&=\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\\&=\vec a+(\vec a+\vec b)+\vec b\\&=(\vec a+\vec a)+(\vec b+\vec b)=2\vec a+2\vec b.\end{aligned}

Za vektor od A A do E E nadovezujemo AF→ \overrightarrow{AF} i FE→. \overrightarrow{FE} . Pošto je AF→=−FA→, \overrightarrow{AF}=-\overrightarrow{FA} , dobijamo:

AE→=AF→+FE→=−a⃗+b⃗=b⃗−a⃗.\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FE}=-\vec a+\vec b=\vec b-\vec a.

Najzad, nadovezivanjem duž puta A−F−E−D, A-F-E-D , uz suprotne vektore i distributivnost, računamo:

AD→=AF→+FE→+ED→=−a⃗+b⃗+(a⃗+b⃗)=(−a⃗+a⃗)+(b⃗+b⃗)=2b⃗.\begin{aligned}\overrightarrow{AD}&=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{ED}\\&=-\vec a+\vec b+(\vec a+\vec b)\\&=(-\vec a+\vec a)+(\vec b+\vec b)=2\vec b.\end{aligned}

Traženi vektori, sa proverenim smerovima, jesu:

DC→=a⃗,CB→=−b⃗,FC→=2a⃗+2b⃗,AE→=b⃗−a⃗,AD→=2b⃗\boxed{\overrightarrow{DC}=\vec a,\quad \overrightarrow{CB}=-\vec b,\quad \overrightarrow{FC}=2\vec a+2\vec b,\quad \overrightarrow{AE}=\vec b-\vec a,\quad \overrightarrow{AD}=2\vec b}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu