PrethodniSledeći
4624.

385

TEKST ZADATKA

Neka je C C središte duži AB AB i O O proizvoljna tačka. Dokazati da je OC→=12(OA→+OB→). \overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) .

REŠENJE ZADATKA

Pošto je C C središte duži AB, AB , vektor od A A do C C ima isti pravac i smer kao AB→, \overrightarrow{AB} , a intenzitet mu je upola manji:

AC→=12AB→.\overrightarrow{AC}=\frac12\overrightarrow{AB}.

Nadovezivanjem duž puta A−O−B A-O-B i korišćenjem suprotnog vektora izražavamo AB→: \overrightarrow{AB} :

AB→=AO→+OB→=−OA→+OB→.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}.

Sada nadovezujemo vektore duž puta O−A−C, O-A-C , pa primenjujemo distributivnost množenja vektora skalarom:

OC→=OA→+AC→=OA→+12AB→=OA→+12(−OA→+OB→)=OA→−12OA→+12OB→=12OA→+12OB→=12(OA→+OB→).\begin{aligned}\overrightarrow{OC}&=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}\\&=\overrightarrow{OA}+\frac12\overrightarrow{AB}\\&=\overrightarrow{OA}+\frac12(-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\\&=\overrightarrow{OA}-\frac12\overrightarrow{OA}+\frac12\overrightarrow{OB}\\&=\frac12\overrightarrow{OA}+\frac12\overrightarrow{OB}=\frac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}).\end{aligned}

Time je tražena jednakost dokazana.

OC→=12(OA→+OB→)\boxed{\overrightarrow{OC}=\frac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu