PrethodniSledeći
4627.

389

TEKST ZADATKA

Date su tri tačke A,B,C A, B, C na pravoj l l i tačka M M izvan te prave. Ako je AB→=3AC→, \overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} , izraziti vektor MC→ \overrightarrow{MC} preko vektora MA→ \overrightarrow{MA} i MB→. \overrightarrow{MB} .

REŠENJE ZADATKA

Iz uslova izdvajamo vektor AC→. \overrightarrow{AC} . Množenjem obe strane skalarom 13 \frac13 i korišćenjem pravila za skalarno množenje dobijamo:

AB→=3AC→⟹AC→=13AB→.\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AC}\quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow{AC}=\frac13\overrightarrow{AB}.

Vektor AB→ \overrightarrow{AB} izražavamo preko datih vektora nadovezivanjem duž puta A−M−B. A-M-B . Pošto je AM→=−MA→, \overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{MA} , važi:

AB→=AM→+MB→=−MA→+MB→=MB→−MA→.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}.

Nadovezivanjem duž puta M−A−C M-A-C imamo MC→=MA→+AC→. \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC} . Zamenjujemo prethodne izraze i primenjujemo distributivnost:

MC→=MA→+13AB→=MA→+13(MB→−MA→)=MA→+13MB→−13MA→=23MA→+13MB→.\begin{aligned}\overrightarrow{MC}&=\overrightarrow{MA}+\frac13\overrightarrow{AB}\\&=\overrightarrow{MA}+\frac13(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA})\\&=\overrightarrow{MA}+\frac13\overrightarrow{MB}-\frac13\overrightarrow{MA}\\&=\frac23\overrightarrow{MA}+\frac13\overrightarrow{MB}.\end{aligned}

Dakle, traženi vektor je:

MC→=23MA→+13MB→\boxed{\overrightarrow{MC}=\frac23\overrightarrow{MA}+\frac13\overrightarrow{MB}}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu