4628. Vektori | Balkan Tutor

Biramo doslednu bazu iz temena $A_1 :$ $\vec p=\overrightarrow{A_1A_2}$ i $\vec q=\overrightarrow{A_1A_6} .$ U pravilnom šestouglu, obilaskom temena redom, naspramne stranice su jednake i suprotno usmerene, a srednja od tri uzastopna smera dobija se sabiranjem dva krajnja. Zato su orijentisane stranice:

\begin{aligned}\overrightarrow{A_1A_2}&=\vec p,& \overrightarrow{A_2A_3}&=\vec p+\vec q,& \overrightarrow{A_3A_4}&=\vec q,\\\overrightarrow{A_4A_5}&=-\vec p,& \overrightarrow{A_5A_6}&=-(\vec p+\vec q),& \overrightarrow{A_6A_1}&=-\vec q.\end{aligned}

Znakove proveravamo na zatvorenoj konturi šestougla. Asocijativnošću, komutativnošću i sabiranjem suprotnih vektora zbir svih šest stranica zaista je nula:

\vec p+(\vec p+\vec q)+\vec q-\vec p-(\vec p+\vec q)-\vec q=\vec0.

Svaki vektor sa početkom u $A_1$ sada dobijamo isključivo nadovezivanjem odgovarajućih stranica. Za prva tri vektora važi:

\begin{aligned}\overrightarrow{A_1A_2}&=\vec p,\\\overrightarrow{A_1A_3}&=\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{A_2A_3}=\vec p+(\vec p+\vec q)=2\vec p+\vec q,\\\overrightarrow{A_1A_4}&=\overrightarrow{A_1A_3}+\overrightarrow{A_3A_4}=(2\vec p+\vec q)+\vec q=2\vec p+2\vec q.\end{aligned}

Nastavljajući nadovezivanje, uz suprotne vektore $-\vec p$ i $-(\vec p+\vec q) ,$ dobijamo preostala dva vektora:

\begin{aligned}\overrightarrow{A_1A_5}&=\overrightarrow{A_1A_4}+\overrightarrow{A_4A_5}=(2\vec p+2\vec q)-\vec p=\vec p+2\vec q,\\\overrightarrow{A_1A_6}&=\overrightarrow{A_1A_5}+\overrightarrow{A_5A_6}=(\vec p+2\vec q)-(\vec p+\vec q)=\vec q.\end{aligned}

Sada sabiramo svih pet vektora sa leve strane. Komutativnost i asocijativnost dozvoljavaju da posebno grupišemo umnoške $\vec p$ i $\vec q ,$ a distributivnost da saberemo njihove koeficijente:

\begin{aligned}S&=\vec p+(2\vec p+\vec q)+(2\vec p+2\vec q)+(\vec p+2\vec q)+\vec q\\&=(1+2+2+1)\vec p+(1+2+2+1)\vec q\\&=6\vec p+6\vec q=6(\vec p+\vec q).\end{aligned}

Iz već izvedenog izraza $\overrightarrow{A_1A_4}=2\vec p+2\vec q=2(\vec p+\vec q) ,$ množenjem skalarom $3$ sledi:

3\overrightarrow{A_1A_4}=3\cdot2(\vec p+\vec q)=6(\vec p+\vec q)=S.

Time je puna identičnost dokazana direktnim izvođenjem svih sabiraka, bez pozivanja samo na simetriju.

\boxed{\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{A_1A_3}+\overrightarrow{A_1A_4}+\overrightarrow{A_1A_5}+\overrightarrow{A_1A_6}=3\overrightarrow{A_1A_4}}

390