PrethodniSledeći
4630.

398

TEKST ZADATKA

Neka su a⃗ \vec{a} i b⃗ \vec{b} proizvoljni vektori. Kada su vektori a⃗+b⃗ \vec{a} + \vec{b} i a⃗−b⃗ \vec{a} - \vec{b} kolinearni?

REŠENJE ZADATKA

Dokazaćemo da je nužan i dovoljan uslov da sami vektori a⃗ \vec{a} i b⃗ \vec{b} budu kolinearni. Nula-vektor smatramo kolinearnim sa svakim vektorom, jer je njegov skalarni umnožak sa koeficijentom 0. 0 .

a⃗+b⃗∥a⃗−b⃗⟺a⃗∥b⃗\vec{a}+\vec{b}\parallel\vec{a}-\vec{b}\quad\Longleftrightarrow\quad\vec{a}\parallel\vec{b}

Najpre dokažimo dovoljnost. Ako je a⃗≠0⃗ \vec{a}\ne\vec{0} i b⃗=ta⃗ \vec{b}=t\vec{a} za neki realan broj t, t , distributivnost pokazuje da su zbir i razlika skalarni umnošci istog vektora, pa su kolinearni.

a⃗+b⃗=(1+t)a⃗,a⃗−b⃗=(1−t)a⃗\vec{a}+\vec{b}=(1+t)\vec{a},\qquad \vec{a}-\vec{b}=(1-t)\vec{a}

Ako je a⃗=0⃗, \vec{a}=\vec{0} , tada su zbir i razlika suprotni vektori i zato su kolinearni. Ovim je obuhvaćen i slučaj a⃗=b⃗=0⃗. \vec{a}=\vec{b}=\vec{0} . Dakle, dovoljnost važi i u svim slučajevima sa nula-vektorom.

a⃗+b⃗=b⃗,a⃗−b⃗=−b⃗\vec{a}+\vec{b}=\vec{b},\qquad \vec{a}-\vec{b}=-\vec{b}

Dokažimo nužnost. Uvedimo oznake za zbir i razliku. Sabiranjem i oduzimanjem tih jednakosti, uz distributivnost, izražavamo početne vektore preko x⃗ \vec{x} i y⃗. \vec{y} .

x⃗=a⃗+b⃗,y⃗=a⃗−b⃗,a⃗=12(x⃗+y⃗),b⃗=12(x⃗−y⃗)\vec{x}=\vec{a}+\vec{b},\qquad \vec{y}=\vec{a}-\vec{b},\qquad \vec{a}=\frac12(\vec{x}+\vec{y}),\qquad \vec{b}=\frac12(\vec{x}-\vec{y})

Pretpostavimo prvo da je x⃗≠0⃗. \vec{x}\ne\vec{0} . Pošto su x⃗ \vec{x} i y⃗ \vec{y} kolinearni, postoji realan broj λ \lambda takav da je y⃗=λx⃗. \vec{y}=\lambda\vec{x} . Uvrštavanjem i primenom distributivnosti vidimo da su a⃗ \vec{a} i b⃗ \vec{b} skalarni umnošci vektora x⃗, \vec{x} , pa su kolinearni.

a⃗=1+λ2x⃗,b⃗=1−λ2x⃗\vec{a}=\frac{1+\lambda}{2}\vec{x},\qquad \vec{b}=\frac{1-\lambda}{2}\vec{x}

Preostaje slučaj x⃗=0⃗, \vec{x}=\vec{0} , odnosno kada je zbir nula-vektor. Tada neposredno sledi da su početni vektori suprotni, pa su kolinearni. Ako je i razlika nula-vektor, onda istovremeno važi b⃗=−a⃗ \vec{b}=-\vec{a} i b⃗=a⃗, \vec{b}=\vec{a} , odakle su oba početna vektora nula-vektori.

a⃗+b⃗=0⃗⟹b⃗=−a⃗;x⃗=y⃗=0⃗⟹a⃗=b⃗=0⃗\vec{a}+\vec{b}=\vec{0}\Longrightarrow\vec{b}=-\vec{a};\qquad \vec{x}=\vec{y}=\vec{0}\Longrightarrow\vec{a}=\vec{b}=\vec{0}

Posebno, ako je samo razlika nula-vektor, onda je a⃗=b⃗ \vec{a}=\vec{b} ; taj slučaj je već obuhvaćen korakom u kome je x⃗≠0⃗ \vec{x}\ne\vec{0} i λ=0. \lambda=0 . Tako nijedan slučaj sa nula-vektorom nije izostavljen.

a⃗−b⃗=0⃗⟹a⃗=b⃗\vec{a}-\vec{b}=\vec{0}\Longrightarrow\vec{a}=\vec{b}

Prema tome, zbir i razlika su kolinearni tačno onda kada su početni vektori kolinearni, uključujući slučajeve a⃗=0⃗, \vec{a}=\vec{0} , b⃗=0⃗, \vec{b}=\vec{0} , a⃗=b⃗ \vec{a}=\vec{b} i a⃗=−b⃗. \vec{a}=-\vec{b} .

a⃗+b⃗∥a⃗−b⃗  ⟺  a⃗∥b⃗\boxed{\vec{a}+\vec{b}\parallel\vec{a}-\vec{b}\iff\vec{a}\parallel\vec{b}}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak