PrethodniSledeći
4631.

397

TEKST ZADATKA

Neka su A1,B1,C1 A_1, B_1, C_1 redom središta stranica BC,CA BC, CA i AB AB trougla ABC. ABC . Dokazati da se od duži AA1,BB1 AA_1, BB_1 i CC1 CC_1 može konstruisati trougao.

REŠENJE ZADATKA

Podrazumevamo da je ABC ABC nedegenerisan trougao. Izaberimo proizvoljnu tačku O O kao početak položajnih vektora i označimo orijentisane vektore njegovih medijana.

x⃗=AA1→,y⃗=BB1→,z⃗=CC1→\vec{x}=\overrightarrow{AA_1},\qquad \vec{y}=\overrightarrow{BB_1},\qquad \vec{z}=\overrightarrow{CC_1}

Pošto su A1,B1,C1 A_1, B_1, C_1 središta stranica BC,CA,AB, BC, CA, AB , njihov položajni vektor jednak je aritmetičkoj sredini položajnih vektora krajeva odgovarajuće stranice. Odatle neposredno dobijamo vektore sve tri medijane.

OA1→=OB→+OC→2,x⃗=OA1→−OA→=OB→+OC→2−OA→,OB1→=OC→+OA→2,y⃗=OB1→−OB→=OC→+OA→2−OB→,OC1→=OA→+OB→2,z⃗=OC1→−OC→=OA→+OB→2−OC→.\begin{aligned}\overrightarrow{OA_1}&=\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}2,& \vec{x}&=\overrightarrow{OA_1}-\overrightarrow{OA}=\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}2-\overrightarrow{OA},\\\overrightarrow{OB_1}&=\frac{\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}}2,& \vec{y}&=\overrightarrow{OB_1}-\overrightarrow{OB}=\frac{\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}}2-\overrightarrow{OB},\\\overrightarrow{OC_1}&=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}2,& \vec{z}&=\overrightarrow{OC_1}-\overrightarrow{OC}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}2-\overrightarrow{OC}.\end{aligned}

Sabiranjem dobijenih jednakosti svaki od položajnih vektora OA→,OB→,OC→ \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC} pojavljuje se sa ukupnim koeficijentom nula. Zato je zbir orijentisanih vektora triju medijana jednak nultom vektoru.

AA1→+BB1→+CC1→=x⃗+y⃗+z⃗=0⃗\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}=\vec{x}+\vec{y}+\vec{z}=\vec{0}

Sada biramo proizvoljnu tačku P. P . Iz tačke P P prenesemo orijentisani predstavnik vektora x⃗ \vec{x} i njegov kraj označimo sa Q, Q , a zatim iz tačke Q Q prenesemo orijentisani predstavnik vektora y⃗ \vec{y} i njegov kraj označimo sa R. R . Tako su prva dva vektora postavljena uzastopno, metodom glava-na-rep.

PQ→=x⃗=AA1→,QR→=y⃗=BB1→\overrightarrow{PQ}=\vec{x}=\overrightarrow{AA_1},\qquad \overrightarrow{QR}=\vec{y}=\overrightarrow{BB_1}

Preostali vektor z⃗ \vec{z} takođe nadovežemo, sada iz tačke R. R . Identitet x⃗+y⃗+z⃗=0⃗ \vec{x}+\vec{y}+\vec{z}=\vec{0} kaže da je ukupan pomeraj posle sva tri koraka nula, pa se kraj trećeg predstavnika vraća upravo u početnu tačku P. P . Dakle, tri prenete duži čine zatvorenu izlomljenu liniju PQRP. PQR P .

RP→=z⃗=CC1→,PQ→+QR→+RP→=0⃗\overrightarrow{RP}=\vec{z}=\overrightarrow{CC_1},\qquad \overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}+\overrightarrow{RP}=\vec{0}

Proverimo geometrijski da dobijeni trougao nije degenerisan. Dve različite medijane nedegenerisanog trougla ne mogu ležati na istoj pravoj. Zaista, kada bi prave AA1 AA_1 i BB1 BB_1 bile ista prava, ona bi sadržala i A A i B, B , pa bi bila prava AB. AB . Tada bi i A1 A_1 ležala na pravoj AB AB ; ali A1 A_1 je ujedno središte stranice BC, BC , pa prava kroz B B i A1 A_1 jeste prava BC. BC . Sledilo bi da su prave AB AB i BC BC iste, odnosno da tačka C C leži na pravoj AB, AB , što protivreči nedegenerisanosti trougla ABC. ABC . Isti zaključak može se dobiti i preko središta B1 B_1 stranice CA. CA . Osim toga, medijane se seku u težištu, pa njihove prave ne mogu biti paralelne: ako bi bile paralelne, zbog zajedničke tačke morale bi biti ista prava, što smo upravo isključili. Zato vektori x⃗ \vec{x} i y⃗ \vec{y} nisu kolinearni, pa ni tačke P,Q,R P,Q,R nisu kolinearne.

AA1∦BB1⟹P,Q,R nisu kolinearne tacˇkeAA_1\not\parallel BB_1\quad\Longrightarrow\quad P,Q,R\text{ nisu kolinearne tačke}

Pošto tačke P,Q,R P,Q,R nisu kolinearne, zatvorena izlomljena linija je nedegenerisan trougao PQR. PQR . Prenošenje vektora čuva njihove dužine, pa su dužine njegovih stranica redom jednake dužinama medijana AA1,BB1,CC1. AA_1, BB_1, CC_1 . Time je tražena konstrukcija neposredno dobijena.

PQ=AA1,QR=BB1,RP=CC1⟹AA1, BB1, CC1 cˇine stranice trouglaPQ=AA_1,\qquad QR=BB_1,\qquad RP=CC_1\qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{AA_1,\ BB_1,\ CC_1\text{ čine stranice trougla}}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak