4632. Vektori | Balkan Tutor

Izaberimo proizvoljnu tačku $O .$ Pošto je $M$ središte duži $AB ,$ važi $\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AB} .$ Primenom sabiranja vektora nadovezivanjem i distributivnosti dobijamo položajni vektor tačke $M .$

\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OA}+\frac12\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OA}+\frac12(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})=\frac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})

Tačka $N$ je središte duži $DC ,$ pa je $\overrightarrow{DN}=\frac12\overrightarrow{DC} .$ Na isti način razvijamo njen položajni vektor.

\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{OD}+\frac12\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{OD}+\frac12(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD})=\frac12(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC})

Vektor od tačke $M$ do tačke $N$ jednak je razlici njihovih položajnih vektora. Uvrštavamo dobijene izraze i grupišemo članove tako da se pojave traženi vektori.

\begin{aligned}\overrightarrow{MN}&=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}\\&=\frac12(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB})\\&=\frac12\bigl((\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA})+(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})\bigr)\\&=\frac12(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}).\end{aligned}

Time je dokazano da je duž koja spaja središta stranica $AB$ i $DC$ predstavljena polovinom zbira vektora $\overrightarrow{AD}$ i $\overrightarrow{BC} .$

\boxed{\overrightarrow{MN}=\frac12(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})}

396