PrethodniSledeći
4633.

395.v

TEKST ZADATKA

Neka su A1,B1 A_1, B_1 i C1 C_1 redom središta stranica BC,CA BC, CA i AB AB trougla ABC. ABC . Neka je O O proizvoljna tačka i T T težište trougla ABC. ABC . Dokazati da je OT→=13(OA→+OB→+OC→). \overrightarrow{OT} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) .

REŠENJE ZADATKA

Uvedimo kraće oznake za položajne vektore temena u odnosu na proizvoljnu tačku O. O .

a⃗=OA→,b⃗=OB→,c⃗=OC→\vec a=\overrightarrow{OA},\qquad \vec b=\overrightarrow{OB},\qquad \vec c=\overrightarrow{OC}

Iz činjenice da je A1 A_1 središte duži BC BC i iz zakona nadovezivanja sledi formula za njegov položajni vektor. Analogno dobijamo formule za druga dva središta.

OA1→=OB→+12BC→=b⃗+12(c⃗−b⃗)=b⃗+c⃗2,OB1→=c⃗+a⃗2,OC1→=a⃗+b⃗2\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{OB}+\frac12\overrightarrow{BC}=\vec b+\frac12(\vec c-\vec b)=\frac{\vec b+\vec c}{2},\qquad \overrightarrow{OB_1}=\frac{\vec c+\vec a}{2},\qquad \overrightarrow{OC_1}=\frac{\vec a+\vec b}{2}

Definišimo tačku T′ T' tako da joj je položajni vektor aritmetička sredina položajnih vektora temena.

OT′→=a⃗+b⃗+c⃗3\overrightarrow{OT'}=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}

Poređenjem vektora od A A do T′ T' sa vektorom medijane AA1 AA_1 dokazujemo da T′ T' pripada toj medijani; odnos 2:1 2:1 ovde je posledica računa, a ne korišćena teorema.

AT′→=OT′→−OA→=b⃗+c⃗−2a⃗3=23(b⃗+c⃗2−a⃗)=23AA1→\overrightarrow{AT'}=\overrightarrow{OT'}-\overrightarrow{OA}=\frac{\vec b+\vec c-2\vec a}{3}=\frac23\left(\frac{\vec b+\vec c}{2}-\vec a\right)=\frac23\overrightarrow{AA_1}

Cikličnom zamenom temena dobijamo iste odnose za druge dve medijane. Zato T′ T' leži na sve tri medijane, pa je njihova zajednička tačka, odnosno težište T. T .

BT′→=23BB1→,CT′→=23CC1→,T′=T\overrightarrow{BT'}=\frac23\overrightarrow{BB_1},\qquad \overrightarrow{CT'}=\frac23\overrightarrow{CC_1},\qquad T'=T

Pošto se tačke T′ T' i T T poklapaju, u definiciju tačke T′ T' vraćamo pune oznake položajnih vektora i dobijamo traženu jednakost.

OT→=OT′→=13(OA→+OB→+OC→)\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OT'}=\boxed{\frac13(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak