PrethodniSledeći
4634.

395.b

TEKST ZADATKA

Neka su A1,B1 A_1, B_1 i C1 C_1 redom središta stranica BC,CA BC, CA i AB AB trougla ABC. ABC . Ako je T T težište trougla ABC, ABC , izračunati AT→+BT→+CT→. \overrightarrow{AT} + \overrightarrow{BT} + \overrightarrow{CT} .

REŠENJE ZADATKA

Izaberimo proizvoljnu tačku O O za početak i uvedimo kraće oznake za položajne vektore temena.

a⃗=OA→,b⃗=OB→,c⃗=OC→\vec a=\overrightarrow{OA},\qquad \vec b=\overrightarrow{OB},\qquad \vec c=\overrightarrow{OC}

Pošto je A1 A_1 središte duži BC, BC , važi BA1→=12BC→. \overrightarrow{BA_1}=\frac12\overrightarrow{BC} . Nadovezivanjem vektora preko tačke B B dobijamo formulu za položajni vektor središta. Isti postupak primenjujemo na druga dva središta.

OA1→=OB→+BA1→=b⃗+12(c⃗−b⃗)=b⃗+c⃗2,OB1→=c⃗+a⃗2,OC1→=a⃗+b⃗2\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA_1}=\vec b+\frac12(\vec c-\vec b)=\frac{\vec b+\vec c}{2},\qquad \overrightarrow{OB_1}=\frac{\vec c+\vec a}{2},\qquad \overrightarrow{OC_1}=\frac{\vec a+\vec b}{2}

Definišimo tačku T′ T' njenim položajnim vektorom. Pokazaćemo neposredno, bez korišćenja nedokazanog odnosa 2:1, 2:1 , da je ta tačka zajednička tačka svih medijana.

OT′→=a⃗+b⃗+c⃗3\overrightarrow{OT'}=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}

Oduzimanjem položajnih vektora tačaka A A i A1 A_1 računamo vektore AT′→ \overrightarrow{AT'} i AA1→. \overrightarrow{AA_1} . Dobijena jednakost pokazuje da je T′ T' na medijani AA1. AA_1 .

AT′→=OT′→−OA→=b⃗+c⃗−2a⃗3,AA1→=OA1→−OA→=b⃗+c⃗−2a⃗2,AT′→=23AA1→\overrightarrow{AT'}=\overrightarrow{OT'}-\overrightarrow{OA}=\frac{\vec b+\vec c-2\vec a}{3},\qquad \overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{OA_1}-\overrightarrow{OA}=\frac{\vec b+\vec c-2\vec a}{2},\qquad \overrightarrow{AT'}=\frac23\overrightarrow{AA_1}

Potpuno analogan račun za preostala dva temena pokazuje da T′ T' pripada i medijanama BB1 BB_1 i CC1. CC_1 .

BT′→=a⃗+c⃗−2b⃗3=23BB1→,CT′→=a⃗+b⃗−2c⃗3=23CC1→\overrightarrow{BT'}=\frac{\vec a+\vec c-2\vec b}{3}=\frac23\overrightarrow{BB_1},\qquad \overrightarrow{CT'}=\frac{\vec a+\vec b-2\vec c}{3}=\frac23\overrightarrow{CC_1}

Dakle, T′ T' leži na sve tri medijane, pa je njihova zajednička tačka, odnosno težište trougla. Zato je T′=T T'=T i važi OT→=13(a⃗+b⃗+c⃗). \overrightarrow{OT}=\frac13(\vec a+\vec b+\vec c) .

T′=T,3OT→=a⃗+b⃗+c⃗T'=T,\qquad 3\overrightarrow{OT}=\vec a+\vec b+\vec c

Na kraju svaki vektor od temena do težišta izražavamo razlikom odgovarajućih položajnih vektora. Njihov zbir se poništava zahvaljujući upravo dokazanoj formuli za OT→. \overrightarrow{OT} .

AT→+BT→+CT→=(OT→−a⃗)+(OT→−b⃗)+(OT→−c⃗)=3OT→−(a⃗+b⃗+c⃗)=0⃗\overrightarrow{AT}+\overrightarrow{BT}+\overrightarrow{CT}=(\overrightarrow{OT}-\vec a)+(\overrightarrow{OT}-\vec b)+(\overrightarrow{OT}-\vec c)=3\overrightarrow{OT}-(\vec a+\vec b+\vec c)=\boxed{\vec 0}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak