PrethodniSledeći
4635.

395.a

TEKST ZADATKA

Neka su A1,B1 A_1, B_1 i C1 C_1 redom središta stranica BC,CA BC, CA i AB AB trougla ABC. ABC . Izračunati AA1→+BB1→+CC1→. \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} .

REŠENJE ZADATKA

Pošto je A1 A_1 središte stranice BC, BC , važi BA1→=12BC→. \overrightarrow{BA_1}=\frac12\overrightarrow{BC} . Nadovezivanjem preko tačke B B izražavamo prvu medijanu.

AA1→=AB→+BA1→=AB→+12BC→\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA_1}=\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{BC}

Kako je BC→=BA→+AC→=−AB→+AC→, \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} , dobijamo simetričan oblik prve medijane.

AA1→=AB→+12(−AB→+AC→)=12(AB→+AC→)\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{AB}+\frac12(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})

Potpuno isto, koristeći da su B1 B_1 i C1 C_1 središta odgovarajućih stranica, izražavamo preostale dve medijane.

BB1→=12(BA→+BC→),CC1→=12(CA→+CB→)\overrightarrow{BB_1}=\frac12(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}),\qquad \overrightarrow{CC_1}=\frac12(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})

Sabiranjem tri medijane svaki vektor stranice pojavljuje se zajedno sa sebi suprotnim vektorom.

AA1→+BB1→+CC1→=12(AB→+BA→+AC→+CA→+BC→+CB→)\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB})

Zbir svakog para suprotnih vektora jednak je nula-vektoru, pa je traženi zbir:

AA1→+BB1→+CC1→=0⃗\boxed{\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}=\vec{0}}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se da oceniš zadatak