4636. Vektori | Balkan Tutor

Izaberimo proizvoljnu tačku $O .$ Za središte $M$ duži $XY$ nadovezivanjem i korišćenjem jednakosti $\overrightarrow{XM}=\frac12\overrightarrow{XY}$ dobijamo:

\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OX}+\overrightarrow{XM}=\overrightarrow{OX}+\frac12(\overrightarrow{OY}-\overrightarrow{OX})=\frac12(\overrightarrow{OX}+\overrightarrow{OY})

Tačke $M_2$ i $M_3$ su središta stranica $BC$ i $CD .$ Pošto je $\overrightarrow{M_2M_3}=\overrightarrow{OM_3}-\overrightarrow{OM_2} ,$ primena formule za središte daje:

\overrightarrow{M_2M_3}=\frac12(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})-\frac12(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=\frac12(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB})=\frac12\overrightarrow{BD}

Isto računamo za središta stranica $DE$ i $EF .$ Članovi koji sadrže $\overrightarrow{OE}$ poništavaju se.

\overrightarrow{M_4M_5}=\frac12(\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF})-\frac12(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE})=\frac12(\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OD})=\frac12\overrightarrow{DF}

Za središta $M_6$ stranice $FG$ i $M_7$ stranice $GA$ na isti način dobijamo:

\overrightarrow{M_6M_7}=\frac12(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{OA})-\frac12(\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{OG})=\frac12(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OF})=\frac12\overrightarrow{FA}

Sabiramo tri dobijene jednakosti i množimo zbir brojem $2 .$

2(\overrightarrow{M_2M_3}+\overrightarrow{M_4M_5}+\overrightarrow{M_6M_7})=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{FA}

Vektori na desnoj strani nadovezuju se duž puta $B-D-F-A .$ Teleskopskim sabiranjem njihov zbir je vektor od početne tačke $B$ do krajnje tačke $A .$

\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{BA}

Time je jednakost dokazana za proizvoljan sedmougao, bez dodatnih pretpostavki o njegovom obliku.

\boxed{\overrightarrow{BA}=2(\overrightarrow{M_2M_3}+\overrightarrow{M_4M_5}+\overrightarrow{M_6M_7})}

394