4637. Vektori | Balkan Tutor

Izaberimo proizvoljnu tačku $O .$ Ako je $S$ središte duži $XY ,$ onda je $\overrightarrow{XS}=\frac12\overrightarrow{XY} .$ Zato se nadovezivanjem dobija formula za vektor od $O$ do središta.

\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OX}+\overrightarrow{XS}=\overrightarrow{OX}+\frac12(\overrightarrow{OY}-\overrightarrow{OX})=\frac12(\overrightarrow{OX}+\overrightarrow{OY})

Primenjujemo izvedenu formulu na središta $P$ i $Q$ odgovarajućih dijagonala.

\overrightarrow{OP}=\frac12(\overrightarrow{OM_1}+\overrightarrow{OM_3}),\qquad \overrightarrow{OQ}=\frac12(\overrightarrow{OM_2}+\overrightarrow{OM_4})

Iz nadovezivanja $\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}$ sledi da je $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP} .$ Uvrštavanjem izraza za središta dobijamo:

\overrightarrow{PQ}=\frac12(\overrightarrow{OM_2}+\overrightarrow{OM_4}-\overrightarrow{OM_1}-\overrightarrow{OM_3})

Grupišemo razlike tako da se pojave traženi vektori. Pri tome je $\overrightarrow{OM_4}-\overrightarrow{OM_1}=\overrightarrow{M_1M_4} ,$ dok je $\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_3}=\overrightarrow{M_3M_2}=-\overrightarrow{M_2M_3} .$

\overrightarrow{PQ}=\frac12\left[(\overrightarrow{OM_4}-\overrightarrow{OM_1})+(\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_3})\right]=\frac12(\overrightarrow{M_1M_4}-\overrightarrow{M_2M_3})

Dakle, traženi vektor je polovina razlike dva navedena vektora.

\boxed{\overrightarrow{PQ}=\frac12(\overrightarrow{M_1M_4}-\overrightarrow{M_2M_3})}

393