4638. Vektori | Balkan Tutor

Pošto je $M$ središte duži $AB ,$ važi $\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AB} .$ Nadovezivanjem preko tačke $A$ izražavamo vektor do središta $M .$

\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OA}+\frac12\overrightarrow{AB}

Iz $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}$ sledi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} ,$ pa prethodni izraz sređujemo.

\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\frac12(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})=\frac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})

Na isti način, jer je $N$ središte duži $AC ,$ dobijamo formulu za vektor $\overrightarrow{ON} .$

\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OA}+\frac12\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OA}+\frac12(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})=\frac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})

Pošto je $P$ središte duži $MN ,$ istom formulom za središte, sada primenjenom na krajeve $M$ i $N ,$ važi sledeće.

\overrightarrow{OP}=\frac12(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON})

Uvrštavamo dobijene izraze za $\overrightarrow{OM}$ i $\overrightarrow{ON}$ i sređujemo zbir.

\overrightarrow{OP}=\frac12\left[\frac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})+\frac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})\right]=\frac14(2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})

Množenjem poslednje jednakosti brojem $4$ dobijamo upravo jednakost koju je trebalo dokazati.

2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{OP}

392