Kompleksni Brojevi
Uvod
Zamislite da rešavate jednačinu x 2 + 1 = 0 x^2 + 1 = 0 x 2 + 1 = 0 imaginarne jedinice .
Definišemo i i i
i 2 = − 1 i^2 = -1 i 2 = − 1
Na ovaj način proširujemo skup realnih brojeva do skupa kompleksnih brojeva C \mathbb{C} C
Sadržaj
Algebarski oblik kompleksnog broja Realni i imaginarni deo Stepenovanje imaginarne jedinice Osnovne operacije
Konjugovano kompleksni broj Modul kompleksnog broja Stepenovanje kompleksnih binoma Jednačine sa kompleksnim brojevima Čisto imaginarni i realni kompleksni brojevi Dokazivanje identiteta
1. Algebarski oblik
Svaki kompleksni broj možemo zapisati u algebarskom obliku :
z = a + b i z = a + bi z = a + bi
gde su a , b ∈ R a, b \in \mathbb{R} a , b ∈ R i i i i 2 = − 1 i^2 = -1 i 2 = − 1
z = 3 + 2 i z = 3 + 2i z = 3 + 2 i
z = − 1 − 4 i z = -1 - 4i z = − 1 − 4 i
z = 5 z = 5 z = 5 b = 0 b = 0 b = 0
z = 2 i z = 2i z = 2 i a = 0 a = 0 a = 0
2. Realni i imaginarni deo
Za kompleksni broj z = a + b i z = a + bi z = a + bi
Re ( z ) = a (realni deo) \text{Re}(z) = a \quad \text{(realni deo)} Re ( z ) = a (realni deo)
Im ( z ) = b (imaginarni deo) \text{Im}(z) = b \quad \text{(imaginarni deo)} Im ( z ) = b (imaginarni deo)
Imaginarni deo je realan broj b b b ne b i bi bi
Na primer, za z = 3 + 2 i z = 3 + 2i z = 3 + 2 i Im ( z ) = 2 \text{Im}(z) = 2 Im ( z ) = 2 2 i 2i 2 i
Dva kompleksna broja z 1 = a + b i z_1 = a + bi z 1 = a + bi z 2 = c + d i z_2 = c + di z 2 = c + d i jednaka ako i samo ako važi:
a = c i b = d a = c \quad \text{i} \quad b = d a = c i b = d
Ovo je ključna tehnika koja se koristi u gotovo svakom zadatku. Izjednačavanjem realnih i imaginarnih delova dobijamo sisteme jednačina.
3. Stepenovanje imaginarne jedinice
Kada računaš stepene imaginarne jedinice, vidi se da se rezultati ponavljaju.
Posle svaka četiri stepena dobija se isti redosled vrednosti, pa kažemo da imaju period 4.
Stepen Vrednost i 1 i^1 i 1 i i i i 2 i^2 i 2 − 1 -1 − 1 i 3 i^3 i 3 − i -i − i i 4 i^4 i 4 1 1 1 i 5 i^5 i 5 i i i
Pravilo: Za bilo koji celi broj n n n n n n 4 4 4 r r r
i n = i r , r = n m o d 4 i^n = i^r, \quad r = n \bmod 4 i n = i r , r = n mod 4
Za negativne stepene koristimo i − n = 1 i n i^{-n} = \dfrac{1}{i^n} i − n = i n 1
Izračunati i 125 + ( − i ) 60 + i 83 i^{125} + (-i)^{60} + i^{83} i 125 + ( − i ) 60 + i 83
125 = 4 ⋅ 31 + 1 125 = 4 \cdot 31 + 1 125 = 4 ⋅ 31 + 1 i 125 = i 1 = i i^{125} = i^1 = i i 125 = i 1 = i
( − i ) 60 = i 60 (-i)^{60} = i^{60} ( − i ) 60 = i 60 60 = 4 ⋅ 15 60 = 4 \cdot 15 60 = 4 ⋅ 15 i 60 = 1 i^{60} = 1 i 60 = 1
83 = 4 ⋅ 20 + 3 83 = 4 \cdot 20 + 3 83 = 4 ⋅ 20 + 3 i 83 = i 3 = − i i^{83} = i^3 = -i i 83 = i 3 = − i
i 125 + ( − i ) 60 + i 83 = i + 1 + ( − i ) = 1 i^{125} + (-i)^{60} + i^{83} = i + 1 + (-i) = \boxed{1} i 125 + ( − i ) 60 + i 83 = i + 1 + ( − i ) = 1
4. Osnovne operacije
4.1 Sabiranje i oduzimanje
Sabiraju se (oduzimaju) realni sa realnim , imaginarni sa imaginarnim :
( a + b i ) ± ( c + d i ) = ( a ± c ) + ( b ± d ) i (a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i ( a + bi ) ± ( c + d i ) = ( a ± c ) + ( b ± d ) i
( 2 + 5 i ) + ( 1 − 7 i ) = 3 − 2 i (2 + 5i) + (1 - 7i) = 3 - 2i ( 2 + 5 i ) + ( 1 − 7 i ) = 3 − 2 i
4.2 Množenje
Koristi se distributivni zakon , uz zamenu i 2 = − 1 i^2 = -1 i 2 = − 1
( a + b i ) ( c + d i ) = a c + a d i + b c i + b d i 2 = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i ( a + bi ) ( c + d i ) = a c + a d i + b c i + b d i 2 = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i
( 2 + 5 i ) ( 3 − 4 i ) (2 + 5i)(3 - 4i) ( 2 + 5 i ) ( 3 − 4 i )
= 6 − 8 i + 15 i − 20 i 2 = 6 + 7 i + 20 = 26 + 7 i = 6 - 8i + 15i - 20i^2 = 6 + 7i + 20 = \boxed{26 + 7i} = 6 − 8 i + 15 i − 20 i 2 = 6 + 7 i + 20 = 26 + 7 i
Posebno korisna formula — razlika kvadrata:
( a + b i ) ( a − b i ) = a 2 − b 2 i 2 = a 2 + b 2 (a + bi)(a - bi) = a^2 - b^2i^2 = a^2 + b^2 ( a + bi ) ( a − bi ) = a 2 − b 2 i 2 = a 2 + b 2
Ovo uvek daje realan broj .
4.3 Deljenje
Da bismo podelili dva kompleksna broja, množimo i brojilac i imenilac konjugatom imenioca :
z 1 z 2 = z 1 ⋅ z 2 ‾ z 2 ⋅ z 2 ‾ = z 1 ⋅ z 2 ‾ ∣ z 2 ∣ 2 \frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{z_2 \cdot \overline{z_2}} = \frac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{|z_2|^2} z 2 z 1 = z 2 ⋅ z 2 z 1 ⋅ z 2 = ∣ z 2 ∣ 2 z 1 ⋅ z 2
Imenilac z 2 ⋅ z 2 ‾ = a 2 + b 2 z_2 \cdot \overline{z_2} = a^2 + b^2 z 2 ⋅ z 2 = a 2 + b 2
Izračunati 17 + 19 i 7 − i \dfrac{17 + 19i}{7 - i} 7 − i 17 + 19 i
17 + 19 i 7 − i ⋅ 7 + i 7 + i = 119 + 17 i + 133 i + 19 i 2 49 − i 2 = 119 + 150 i − 19 49 + 1 = 100 + 150 i 50 = 2 + 3 i \frac{17 + 19i}{7 - i} \cdot \frac{7 + i}{7 + i} = \frac{119 + 17i + 133i + 19i^2}{49 - i^2} = \frac{119 + 150i - 19}{49 + 1} = \frac{100 + 150i}{50} = \boxed{2 + 3i} 7 − i 17 + 19 i ⋅ 7 + i 7 + i = 49 − i 2 119 + 17 i + 133 i + 19 i 2 = 49 + 1 119 + 150 i − 19 = 50 100 + 150 i = 2 + 3 i
5. Konjugovano kompleksni broj
Za z = a + b i z = a + bi z = a + bi konjugovano kompleksni broj je:
z ‾ = a − b i \overline{z} = a - bi z = a − bi
Geometrijski, z ‾ \overline{z} z z z z
Osobine konjugovanja
Sve ove osobine mogu se dokazati pisanjem z = a + b i z = a + bi z = a + bi
z 1 + z 2 ‾ = z 1 ‾ + z 2 ‾ \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2} z 1 + z 2 = z 1 + z 2
z 1 − z 2 ‾ = z 1 ‾ − z 2 ‾ \overline{z_1 - z_2} = \overline{z_1} - \overline{z_2} z 1 − z 2 = z 1 − z 2
z 1 ⋅ z 2 ‾ = z 1 ‾ ⋅ z 2 ‾ \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} z 1 ⋅ z 2 = z 1 ⋅ z 2
( z 1 z 2 ) ‾ = z 1 ‾ z 2 ‾ \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} ( z 2 z 1 ) = z 2 z 1
( z ‾ ) ‾ = z \overline{(\overline{z})} = z ( z ) = z
( − z ) ‾ = − z ‾ \overline{(-z)} = -\overline{z} ( − z ) = − z
Realni broj je jednak svom konjugatu: z = z ‾ ⟺ z ∈ R z = \overline{z} \iff z \in \mathbb{R} z = z ⟺ z ∈ R a + b i = a − b i a + bi = a - bi a + bi = a − bi b = 0 b = 0 b = 0
Korisne veze
z + z ‾ = 2 Re ( z ) ∈ R z + \overline{z} = 2\,\text{Re}(z) \in \mathbb{R} z + z = 2 Re ( z ) ∈ R
z − z ‾ = 2 i Im ( z ) z - \overline{z} = 2i\,\text{Im}(z) z − z = 2 i Im ( z )
z ⋅ z ‾ = a 2 + b 2 = ∣ z ∣ 2 ∈ R z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2 = |z|^2 \in \mathbb{R} z ⋅ z = a 2 + b 2 = ∣ z ∣ 2 ∈ R
6. Modul kompleksnog broja
Modul kompleksnog broja z = a + b i z = a + bi z = a + bi
∣ z ∣ = a 2 + b 2 |z| = \sqrt{a^2 + b^2} ∣ z ∣ = a 2 + b 2
Geometrijski, ∣ z ∣ |z| ∣ z ∣ z z z
Osobine modula
∣ z ∣ 2 = z ⋅ z ‾ |z|^2 = z \cdot \overline{z} ∣ z ∣ 2 = z ⋅ z
∣ z 1 ⋅ z 2 ∣ = ∣ z 1 ∣ ⋅ ∣ z 2 ∣ |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| ∣ z 1 ⋅ z 2 ∣ = ∣ z 1 ∣ ⋅ ∣ z 2 ∣
∣ z 1 z 2 ∣ = ∣ z 1 ∣ ∣ z 2 ∣ \left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} z 2 z 1 = ∣ z 2 ∣ ∣ z 1 ∣
∣ z n ∣ = ∣ z ∣ n |z^n| = |z|^n ∣ z n ∣ = ∣ z ∣ n
Umesto da sredimo ceo izraz pa onda računamo modul, često je lakše koristiti osobine modula direktno. Na primer:
∣ ( 2 − i ) ( 1 + i ) 3 − i ∣ = ∣ 2 − i ∣ ⋅ ∣ 1 + i ∣ ∣ 3 − i ∣ \left|\frac{(2-i)(1+i)}{3-i}\right| = \frac{|2-i| \cdot |1+i|}{|3-i|} 3 − i ( 2 − i ) ( 1 + i ) = ∣3 − i ∣ ∣2 − i ∣ ⋅ ∣1 + i ∣
∣ 2 − i ∣ = 4 + 1 = 5 |2 - i| = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} ∣2 − i ∣ = 4 + 1 = 5
∣ 3 + 2 2 i ∣ = 9 + 8 = 17 |3 + 2\sqrt{2}\,i| = \sqrt{9 + 8} = \sqrt{17} ∣3 + 2 2 i ∣ = 9 + 8 = 17
∣ 2 6 + 5 i ∣ = 24 + 25 = 49 = 7 |2\sqrt{6} + 5i| = \sqrt{24 + 25} = \sqrt{49} = 7 ∣2 6 + 5 i ∣ = 24 + 25 = 49 = 7
7. Stepenovanje kompleksnih binoma
Ovo je jedna od najvažnijih tehnika. Umesto direktnog stepenovanja, uvek tražimo prečicu .
Osnovna tehnika: kvadriranje kao prvi korak
Za binome oblika ( 1 ± i ) n (1 \pm i)^n ( 1 ± i ) n ( 1 ± i 2 ) n \left(\dfrac{1 \pm i}{\sqrt{2}}\right)^n ( 2 1 ± i ) n
( 1 + i ) 2 = 1 + 2 i + i 2 = 2 i (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i ( 1 + i ) 2 = 1 + 2 i + i 2 = 2 i
( 1 − i ) 2 = 1 − 2 i + i 2 = − 2 i (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = -2i ( 1 − i ) 2 = 1 − 2 i + i 2 = − 2 i
( 1 + i 2 ) 2 = ( 1 + i ) 2 2 = 2 i 2 = i \left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{(1+i)^2}{2} = \frac{2i}{2} = i ( 2 1 + i ) 2 = 2 ( 1 + i ) 2 = 2 2 i = i
( 1 − i 2 ) 2 = − i \left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)^2 = -i ( 2 1 − i ) 2 = − i
Visoki stepen uvek razbijaj na stepen kvadrata. Umesto ( 1 + i ) 100 (1+i)^{100} ( 1 + i ) 100 ( ( 1 + i ) 2 ) 50 = ( 2 i ) 50 ((1+i)^2)^{50} = (2i)^{50} (( 1 + i ) 2 ) 50 = ( 2 i ) 50
Dokazati da je ( 1 − i ) 100 = − 2 50 (1-i)^{100} = -2^{50} ( 1 − i ) 100 = − 2 50
Korak 1: ( 1 − i ) 2 = 1 − 2 i + i 2 = − 2 i (1-i)^2 = 1 - 2i + i^2 = -2i ( 1 − i ) 2 = 1 − 2 i + i 2 = − 2 i
Korak 2: ( 1 − i ) 100 = ( ( 1 − i ) 2 ) 50 = ( − 2 i ) 50 (1-i)^{100} = \left((1-i)^2\right)^{50} = (-2i)^{50} ( 1 − i ) 100 = ( ( 1 − i ) 2 ) 50 = ( − 2 i ) 50
Korak 3: ( − 2 i ) 50 = ( − 2 ) 50 ⋅ i 50 (-2i)^{50} = (-2)^{50} \cdot i^{50} ( − 2 i ) 50 = ( − 2 ) 50 ⋅ i 50
Korak 4: ( − 2 ) 50 = 2 50 (-2)^{50} = 2^{50} ( − 2 ) 50 = 2 50
Korak 5: 50 = 4 ⋅ 12 + 2 50 = 4 \cdot 12 + 2 50 = 4 ⋅ 12 + 2 i 50 = i 2 = − 1 i^{50} = i^2 = -1 i 50 = i 2 = − 1
Rezultat: ( 1 − i ) 100 = 2 50 ⋅ ( − 1 ) = − 2 50 ✓ \text{Rezultat: } (1-i)^{100} = 2^{50} \cdot (-1) = \boxed{-2^{50}} \checkmark Rezultat: ( 1 − i ) 100 = 2 50 ⋅ ( − 1 ) = − 2 50 ✓
8. Jednačine sa kompleksnim brojevima
Tip 1: Nalaženje realnih x x x y y y
Kada jednačina sadrži nepoznate realne brojeve x x x y y y
Naći realne x x x y y y ( 2 + 3 i ) x + ( 3 + 2 i ) y = 1 (2 + 3i)x + (3 + 2i)y = 1 ( 2 + 3 i ) x + ( 3 + 2 i ) y = 1
Leva strana: ( 2 x + 3 y ) + ( 3 x + 2 y ) i = 1 + 0 i \text{Leva strana: } (2x + 3y) + (3x + 2y)i = 1 + 0i Leva strana: ( 2 x + 3 y ) + ( 3 x + 2 y ) i = 1 + 0 i
{ 2 x + 3 y = 1 3 x + 2 y = 0 \begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ 3x + 2y = 0 \end{cases} { 2 x + 3 y = 1 3 x + 2 y = 0
Iz druge jednačine: x = − 2 3 y x = -\dfrac{2}{3}y x = − 3 2 y
− 4 3 y + 3 y = 1 ⟹ 5 3 y = 1 ⟹ y = 3 5 , x = − 2 5 -\frac{4}{3}y + 3y = 1 \implies \frac{5}{3}y = 1 \implies y = \frac{3}{5}, \quad x = -\frac{2}{5} − 3 4 y + 3 y = 1 ⟹ 3 5 y = 1 ⟹ y = 5 3 , x = − 5 2
Tip 2: Jednačine sa z ‾ \overline{z} z
Naći z z z z + 2 z ‾ = 3 + 2 i z + 2\overline{z} = 3 + 2i z + 2 z = 3 + 2 i
Neka je z = x + i y z = x + iy z = x + i y z ‾ = x − i y \overline{z} = x - iy z = x − i y
( x + i y ) + 2 ( x − i y ) = 3 + 2 i (x + iy) + 2(x - iy) = 3 + 2i ( x + i y ) + 2 ( x − i y ) = 3 + 2 i
3 x − i y = 3 + 2 i ⟹ { 3 x = 3 − y = 2 ⟹ z = 1 − 2 i 3x - iy = 3 + 2i \implies \begin{cases} 3x = 3 \\ -y = 2 \end{cases} \implies z = 1 - 2i 3 x − i y = 3 + 2 i ⟹ { 3 x = 3 − y = 2 ⟹ z = 1 − 2 i
Tip 3: Jednačine sa ∣ z ∣ |z| ∣ z ∣
Naći z z z ∣ z ∣ − z = 1 + 2 i |z| - z = 1 + 2i ∣ z ∣ − z = 1 + 2 i
Neka je z = x + i y z = x + iy z = x + i y
x 2 + y 2 − ( x + i y ) = 1 + 2 i \sqrt{x^2 + y^2} - (x + iy) = 1 + 2i x 2 + y 2 − ( x + i y ) = 1 + 2 i
{ x 2 + y 2 − x = 1 − y = 2 \begin{cases} \sqrt{x^2+y^2} - x = 1 \\ -y = 2 \end{cases} { x 2 + y 2 − x = 1 − y = 2
Iz druge jednačine y = − 2 y = -2 y = − 2
x 2 + 4 = x + 1 ⟹ x 2 + 4 = x 2 + 2 x + 1 ⟹ x = 3 2 \sqrt{x^2 + 4} = x + 1 \implies x^2 + 4 = x^2 + 2x + 1 \implies x = \frac{3}{2} x 2 + 4 = x + 1 ⟹ x 2 + 4 = x 2 + 2 x + 1 ⟹ x = 2 3
z = 3 2 − 2 i z = \frac{3}{2} - 2i z = 2 3 − 2 i
Kada kvadriramo jednačinu sa korenom, moramo proveriti da je desna strana nenegativna. Ovde x + 1 ≥ 0 x + 1 \geq 0 x + 1 ≥ 0
Tip 4: Sistemi sa kompleksnim nepoznatim
{ z 1 + 2 z 2 = 1 + i 3 z 1 + i z 2 = 2 − 3 i \begin{cases} z_1 + 2z_2 = 1 + i \\ 3z_1 + iz_2 = 2 - 3i \end{cases} { z 1 + 2 z 2 = 1 + i 3 z 1 + i z 2 = 2 − 3 i
Iz prve: z 1 = 1 + i − 2 z 2 z_1 = 1 + i - 2z_2 z 1 = 1 + i − 2 z 2
3 ( 1 + i − 2 z 2 ) + i z 2 = 2 − 3 i 3(1 + i - 2z_2) + iz_2 = 2 - 3i 3 ( 1 + i − 2 z 2 ) + i z 2 = 2 − 3 i 3 + 3 i − 6 z 2 + i z 2 = 2 − 3 i 3 + 3i - 6z_2 + iz_2 = 2 - 3i 3 + 3 i − 6 z 2 + i z 2 = 2 − 3 i z 2 ( i − 6 ) = − 1 − 6 i z_2(i - 6) = -1 - 6i z 2 ( i − 6 ) = − 1 − 6 i z 2 = − 1 − 6 i i − 6 = 1 + 6 i 6 − i ⋅ 6 + i 6 + i = 6 + i + 36 i − 6 37 = 37 i 37 = i z_2 = \frac{-1-6i}{i-6} = \frac{1+6i}{6-i} \cdot \frac{6+i}{6+i} = \frac{6 + i + 36i - 6}{37} = \frac{37i}{37} = i z 2 = i − 6 − 1 − 6 i = 6 − i 1 + 6 i ⋅ 6 + i 6 + i = 37 6 + i + 36 i − 6 = 37 37 i = i
z 1 = 1 + i − 2 i = 1 − i z_1 = 1 + i - 2i = 1 - i z 1 = 1 + i − 2 i = 1 − i
9. Čisto imaginarni i realni kompleksni brojevi
Kada je z z z
z ∈ R ⟺ Im ( z ) = 0 ⟺ z = z ‾ z \in \mathbb{R} \iff \text{Im}(z) = 0 \iff z = \overline{z} z ∈ R ⟺ Im ( z ) = 0 ⟺ z = z
Kada je z z z
z je c ˇ isto imaginaran ⟺ Re ( z ) = 0 i Im ( z ) ≠ 0 z \text{ je čisto imaginaran} \iff \text{Re}(z) = 0 \;\text{ i }\; \text{Im}(z) \neq 0 z je c ˇ isto imaginaran ⟺ Re ( z ) = 0 i Im ( z ) = 0
Naći realne x x x ( x − 2 − i ) 2 (x - 2 - i)^2 ( x − 2 − i ) 2
Razvijamo: ( ( x − 2 ) − i ) 2 = ( x − 2 ) 2 − 2 ( x − 2 ) i + i 2 ((x-2) - i)^2 = (x-2)^2 - 2(x-2)i + i^2 (( x − 2 ) − i ) 2 = ( x − 2 ) 2 − 2 ( x − 2 ) i + i 2
= ( x − 2 ) 2 − 1 ⏟ Re + ( − 2 ( x − 2 ) ) ⏟ Im ⋅ i = \underbrace{(x-2)^2 - 1}_{\text{Re}} + \underbrace{(-2(x-2))}_{\text{Im}} \cdot i = Re ( x − 2 ) 2 − 1 + Im ( − 2 ( x − 2 )) ⋅ i
Uslov: Re = 0 \text{Re} = 0 Re = 0 Im ≠ 0 \text{Im} \neq 0 Im = 0
( x − 2 ) 2 = 1 ⟹ x = 1 ili x = 3 (x-2)^2 = 1 \implies x = 1 \text{ ili } x = 3 ( x − 2 ) 2 = 1 ⟹ x = 1 ili x = 3
Proveravamo: za oba, Im ≠ 0 \text{Im} \neq 0 Im = 0 x ∈ { 1 , 3 } x \in \{1, 3\} x ∈ { 1 , 3 }
Formula Napomena i 2 = − 1 i^2 = -1 i 2 = − 1 Definicija i n = i n m o d 4 i^n = i^{n \bmod 4} i n = i n mod 4 Periodičnost stepena ( a + b i ) ( a − b i ) = a 2 + b 2 (a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2 ( a + bi ) ( a − bi ) = a 2 + b 2 Razlika kvadrata 1 a + b i = a − b i a 2 + b 2 \dfrac{1}{a+bi} = \dfrac{a-bi}{a^2+b^2} a + bi 1 = a 2 + b 2 a − bi Racionalisanje ( 1 + i ) 2 = 2 i (1+i)^2 = 2i ( 1 + i ) 2 = 2 i Česta prečica ( 1 − i ) 2 = − 2 i (1-i)^2 = -2i ( 1 − i ) 2 = − 2 i Česta prečica ∣ z ∣ = a 2 + b 2 \lvert z \rvert = \sqrt{a^2 + b^2} ∣ z ∣ = a 2 + b 2 Definicija modula z ⋅ z ‾ = ∣ z ∣ 2 z \cdot \overline{z} = \lvert z \rvert^2 z ⋅ z = ∣ z ∣ 2 Ključna veza ∣ z 1 z 2 ∣ = ∣ z 1 ∣ ⋅ ∣ z 2 ∣ \lvert z_1 z_2 \rvert = \lvert z_1 \rvert \cdot \lvert z_2 \rvert ∣ z 1 z 2 ∣ = ∣ z 1 ∣ ⋅ ∣ z 2 ∣ Osobina modula