1625.

255.g

TEKST ZADATKA

Ispitati funkcije i skicirati njihove grafike: y=−12x2−1. y = -\frac{1}{2}x^2 - 1 .

REŠENJE ZADATKA

Određujemo domen funkcije. Pošto je u pitanju polinom drugog stepena (kvadratna funkcija), funkcija je definisana za sve realne brojeve.

Df=RD_f = \mathbb{R}

Određujemo nule funkcije rešavanjem jednačine y=0. y = 0 .

−12x2−1=0-\frac{1}{2}x^2 - 1 = 0

Množimo jednačinu sa −2. -2 .

x2=−2x^2 = -2

Kvadrat realnog broja ne može biti negativan, pa jednačina nema realnih rešenja. Funkcija nema nule, odnosno njen grafik ne seče x-osu.

x∉Rx \notin \mathbb{R}

Određujemo presek sa y-osom tako što zamenimo x=0 x = 0 u jednačinu funkcije.

y=−12(0)2−1=−1y = -\frac{1}{2}(0)^2 - 1 = -1

Presek sa y-osom je tačka (0,−1). (0, -1) .

Određujemo teme parabole T(α,β). T(\alpha, \beta) . Za datu funkciju koeficijenti su a=−12, a = -\frac{1}{2} , b=0 b = 0 i c=−1. c = -1 . Računamo x-koordinatu temena α. \alpha .

α=−b2a=−02⋅(−12)=0\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} = 0

Računamo y-koordinatu temena β. \beta .

β=4ac−b24a=4⋅(−12)⋅(−1)−024⋅(−12)=2−2=−1\beta = \frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot (-1) - 0^2}{4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{2}{-2} = -1

Teme parabole je tačka T(0,−1). T(0, -1) . Pošto je koeficijent a<0, a < 0 , parabola je okrenuta nadole i u temenu dostiže svoj maksimum.

ymax⁡=−1zax=0y_{\max} = -1 \quad \text{za} \quad x = 0

Određujemo intervale monotonosti. Funkcija raste do x-koordinate temena, a zatim opada.

y↗za x∈(−∞,0)y↘za x∈(0,+∞)\begin{aligned} y \nearrow \quad &\text{za } x \in (-\infty, 0) \\ y \searrow \quad &\text{za } x \in (0, +\infty) \end{aligned}

Određujemo znak funkcije. Pošto je parabola okrenuta nadole i njeno teme (maksimum) se nalazi ispod x-ose, funkcija je uvek negativna.

y<0za svako x∈Ry < 0 \quad \text{za svako } x \in \mathbb{R}

Na osnovu svih dobijenih podataka, grafik je parabola okrenuta nadole sa temenom u tački (0,−1), (0, -1) , koja je ujedno i presek sa y-osom, i nigde ne seče x-osu.